Determine se o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto
é linearmente dependente. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao conceito de dependência linear entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como verificar isso usando sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos práticos, isso significa que existe uma combinação de coeficientes (não todos zero) que, multiplicados pelos vetores, dá o vetor zero.
Passo 3
Vamos chamar nossos vetores de
,
e
. Queremos encontrar se existem números
,
e
, não todos zero, tais que:
Isso se traduz nas seguintes equações:
Passo 4
Observamos que todas as três equações são iguais. Isso significa que, na verdade, temos apenas uma equação com três incógnitas. Isso geralmente indica que há infinitas soluções, ou seja, os vetores são dependentes.
Passo 5
Outra maneira de ver isso é notar que todos os vetores são multiplicações escalares uns dos outros. Por exemplo,
e
. Isso mostra que todos os vetores estão na mesma direção, confirmando que são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.