Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=\mathscr{P}_{2}, \mathcal{B}=\left\{1-x, 1-x^{2}, x-x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se \mathcal{B} = \{\,1 - x,\;1 - x^{2},\;x - x^{2}\}
é uma base de V = \mathscr{P}_{2}.
O conteúdo é espaço vetorial de polinômios de grau até 2, cuja dimensão é 3.

Passo 2

Para que \mathcal{B} seja base de V, é necessário e suficiente que seus três vetores sejam linearmente independentes (LI) e, sendo \dim(V)=3, isso já garante também o espansão de V.

Passo 3

Vamos testar a independência linear procurando uma combinação não trivial
a(1 - x) + b(1 - x^{2}) + c(x - x^{2}) = 0\,,
onde 0 é o polinômio zero.

Passo 4

Observe a relação
(1 - x) + (x - x^{2}) - (1 - x^{2}) = 1 - x + x - x^{2} - 1 + x^{2} = 0.
Isto é,
1\cdot(1 - x) \;+\; 1\cdot(x - x^{2})\;+\;(-1)\cdot(1 - x^{2}) \;=\;0
é uma combinação não trivial, logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

\mathcal{B} não é uma base de V, pois seus vetores são linearmente dependentes.

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