Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=\mathscr{P}_{2}, \mathcal{B}=\left\{1,2-x, 3-x^{2}, x+2 x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathcal{B}=\{1,\;2 - x,\;3 - x^{2},\;x + 2x^{2}\}
é uma base de \displaystyle V = \mathscr{P}_{2},
o espaço dos polinômios de grau <=2.
Para isso, precisamos lembrar que uma base de V deve satisfazer dois requisitos:
  1. Ser linearmente independente.
  2. Gerar (span) todo V.

Passo 2

O espaço \mathscr{P}_{2} tem dimensão igual ao número de coeficientes livres em um polinômio de grau até 2, ou seja,
\dim\bigl(\mathscr{P}_{2}\bigr) = 3.

Passo 3

A quantidade de vetores em \mathcal{B} é
|\mathcal{B}| = 4,
que é maior do que \dim(\mathscr{P}_{2})=3. Em qualquer espaço vetorial, um conjunto de mais de \dim(V) vetores é necessariamente linearmente dependente. Logo, \mathcal{B} não é linearmente independente e, portanto, não pode ser base.

Resposta

\mathcal{B} não é base de \mathscr{P}_{2}.

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