Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=M_{22}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -3 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathcal{B}=\bigl\{B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\bigr\}\subset V, onde V=M_{2\times2} é o espaço de todas as matrizes 2\times2, é uma base de V.
Conteúdo: teoria de bases em espaços vetoriais; vamos usar definição de base, dimensão de V e um resultado sobre dependência linear de conjuntos com mais vetores que a dimensão.

Passo 2

Recordando que uma base de um espaço vetorial V deve satisfazer duas condições simultâneas:
  1. Ser linearmente independente.
  2. Gerar todo V (ou seja, seu span é V).
    Além disso, vale o teorema: em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é automaticamente linearmente dependente.

Passo 3

Como V=M_{2\times2} tem dimensão
\dim(V)=4,
qualquer conjunto com mais de 4 matrizes de V não pode ser independente. Aqui temos
\bigl|\mathcal{B}\bigr|=5>4,
portanto \mathcal{B} é linearmente dependente e não pode ser uma base de V.

Resposta

\mathcal{B} não é uma base de V.

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