Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=\mathscr{P}_{2}, \mathcal{B}=\left\{x, 1+x, x-x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathcal{B}=\{x,\;1+x,\;x - x^2\} é uma base de V=\mathscr{P}_2.
Lembrando que \mathscr{P}_2 é o espaço dos polinômios de grau até 2, cuja dimensão é \dim(V)=3.
Para que \mathcal{B} seja base, precisamos que seus três vetores sejam linearmente independentes (já que o número de vetores coincide com \dim(V)), o que garante também que gerem todo o espaço.

Passo 2

Vamos checar independência linear. Suponha que exista combinação linear que dê o polinômio zero:
c_1\,x \;+\; c_2\,(1+x) \;+\; c_3\,(x - x^2) \;=\; 0.
Reescrevendo em potências de x\): \[c_1\,x + c_2 + c_2\,x + c_3\,x - c_3\,x^2 = 0.
Agrupando coeficientes:
(-c_3)\,x^2 \;+\;(c_1 + c_2 + c_3)\,x \;+\; c_2 = 0.
Como o polinômio identicamente zero tem todos os coeficientes iguais a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} -c_3 = 0,\\\ c_1 + c_2 + c_3 = 0,\\\ c_2 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem c_3=0\]. Da terceira, \(c_2=0. Substituindo na segunda, c_1+0+0=0 implica c_1=0.
Portanto, a única solução é c_1=c_2=c_3=0, o que prova que os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como \mathcal{B} tem exatamente 3 vetores e \dim(V)=3, a independência linear já garante que \mathcal{B} seja uma base de V.

Resposta

Sim, \mathcal{B}=\{x,\;1+x,\;x - x^2\} é uma base de V=\mathscr{P}_2.

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