Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=\mathscr{P}_{2}, \mathcal{B}=\left\{1,1+2 x+3 x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = \mathscr{P}_{2},
que é o conjunto dos polinômios de grau até 2, e o conjunto
\mathcal{B} = \{\,1,\;1 + 2x + 3x^2\}.
Queremos saber se \mathcal{B} é base de V. Para isso, precisamos que \mathcal{B} seja linearmente independente e que gere V. Como V tem dimensão 3, qualquer base precisa ter exatamente 3 vetores.

Passo 2

Verificamos o número de vetores de \mathcal{B}: são apenas 2. Mas sabemos que
\dim(V) = 3,
logo uma base de V deve ter 3 vetores. Como \mathcal{B} tem menos vetores do que a dimensão de V, já podemos concluir que ela não gera todo V.

Passo 3

Para ver explicitamente que \mathcal{B} não gera V, tentamos escrever um polinômio geral
p(x) = a + b x + c x^2
como combinação linear
p(x) = \alpha \cdot 1 + \beta \bigl(1 + 2x + 3x^2\bigr).
Comparando coeficientes:
coeficiente de x^2: \;3\beta = c,
coeficiente de x: \;2\beta = b,
termo constante: \;\alpha + \beta = a.
Da segunda equação vem \beta = b/2. Substituindo na primeira, exigimos
c = 3\beta = 3\frac{b}{2} = \frac{3b}{2}.
Logo, só conseguimos gerar os polinômios cujos coeficientes satisfazem c = \tfrac{3b}{2}. Isso mostra que nem todo polinômio de grau até 2 está no span de \mathcal{B}.

Passo 4

Por fim, mesmo sendo fácil verificar que \mathcal{B} é linearmente independente (a equação \alpha\cdot1 + \beta(1+2x+3x^2)=0 força \beta=0 e depois \alpha=0), faltou o fato crucial: \mathcal{B} não gera V.

Resposta

\mathcal{B} não é base de V.

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