Determine se o conjunto
é uma base para o espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
que é o conjunto dos polinômios de grau até 2, e o conjunto
Queremos saber se
é base de
. Para isso, precisamos que
seja linearmente independente e que gere
. Como
tem dimensão 3, qualquer base precisa ter exatamente 3 vetores.
Passo 2
Verificamos o número de vetores de
: são apenas 2. Mas sabemos que
logo uma base de
deve ter 3 vetores. Como
tem menos vetores do que a dimensão de
, já podemos concluir que ela não gera todo
.
Passo 3
Para ver explicitamente que
não gera
, tentamos escrever um polinômio geral
como combinação linear
Comparando coeficientes:
coeficiente de
:
,
coeficiente de :
,
termo constante: .
coeficiente de
termo constante:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira, exigimos
Logo, só conseguimos gerar os polinômios cujos coeficientes satisfazem
. Isso mostra que nem todo polinômio de grau até 2 está no span de
.
Passo 4
Por fim, mesmo sendo fácil verificar que
é linearmente independente (a equação
força
e depois
), faltou o fato crucial:
não gera
.