Encontre o vetor de coordenadas de A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] relativo à base \mathcal{B}=\left\{E_{12}, E_{11}, E_{22}, E_{21}\right\} de M_{22}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
e a base \mathcal{B} = \{E_{12},\,E_{11},\,E_{22},\,E_{21}\}
do espaço M_{2\times2}.
O conteúdo aqui é coordenadas de um vetor (no caso, matriz) em relação a uma base. Vamos expressar A como combinação linear dos elementos de \mathcal B.

Passo 2

Sejam x_1,x_2,x_3,x_4 os coeficientes tais que
A = x_1 E_{12} + x_2 E_{11} + x_3 E_{22} + x_4 E_{21}.
Recordando que
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\; E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\; E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\; E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
ao somar a combinação linear cada posição (i,j) da matriz resultado dá
(x_2,\;x_1;\;x_4,\;x_3)
na forma de matriz \begin{pmatrix}x_2 & x_1 \\\ x_4 & x_3\end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando com
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix},
vemos que
x_2 = 1,\quad x_1 = 2,\quad x_4 = 3,\quad x_3 = 4.

Passo 4

Logo, os coeficientes na combinação linear são
x_1 = 2,\;x_2 = 1,\;x_3 = 4,\;x_4 = 3.

Resposta

O vetor de coordenadas de A em relação à base \mathcal B é
[A]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix}2 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ 3\end{pmatrix}.

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