Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V. V=M_{22}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathcal{B}=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}\Bigr\}
é uma base de V=M_{2\times2}(\mathbb{R}). Lembrando que, para ser base, um conjunto deve ser gerador de V e linearmente independente.
Passo 2
Sabemos que \dim V=4. Uma base de V precisa ter exatamente 4 vetores.
Passo 3
O conjunto \mathcal{B} tem apenas 3 vetores, ou seja, |\mathcal{B}|=3<4. Logo ele não pode gerar todo V, pois faltaria pelo menos um vetor para atingir dimensão 4.
Passo 4
Podemos ainda checar a independência linear de \mathcal{B}\). Considere
\[x\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} x+z=0,\\\ x - y + z=0,\\\ y+z=0,\\\ x - z=0. \end{cases}
Dessas equações segue x=0\], \(z=0 e y=0. Portanto os 3 vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Mesmo sendo linearmente independentes, como \mathcal{B} não tem vetor suficiente para gerar V, ela não é base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Resposta
\mathcal{B} não é base de V, pois não gera todo o espaço (faltaria um quarto vetor).