Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V. V=M_{22}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado define V=M_{2\times2}(\mathbb{R}), que tem dimensão \dim V=4, e o conjunto
Para que \mathcal{B} seja base de V, precisamos que seja linearmente independente e gere V. Como |\mathcal{B}|=4=\dim V, basta mostrar que \mathcal{B} é linearmente independente.
Portanto o sistema tem solução não trivial, por exemplo \beta=1\implies(\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(2,1,-1,-1).
Passo 5
Como existe solução não trivial para a combinação linear nula, as matrizes de \mathcal{B} são linearmente dependentes. Logo \mathcal{B}não é base de V.
Resposta
\mathcal{B} não é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).