Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=M_{22}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado define V=M_{2\times2}(\mathbb{R}), que tem dimensão \dim V=4, e o conjunto
\mathcal{B}= \Bigl\{ E_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, E_2=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}, E_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, E_4=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} \Bigr\}.
Para que \mathcal{B} seja base de V, precisamos que seja linearmente independente e gere V. Como |\mathcal{B}|=4=\dim V, basta mostrar que \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
\alpha\,E_1 + \beta\,E_2 + \gamma\,E_3 + \delta\,E_4 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Vamos escrever essa soma componente a componente.

Passo 3

Somando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
\begin{cases} (1,1)\colon&\alpha + \gamma + \delta = 0,\\\ (1,2)\colon&\beta + \gamma = 0,\\\ (2,1)\colon&\beta + \delta = 0,\\\ (2,2)\colon&\alpha + \gamma + \delta = 0. \end{cases}
Note que a equação do (2,2) é idêntica à do (1,1), restando três equações independentes.

Passo 4

Das duas últimas equações vem
\beta + \gamma = 0\implies \gamma = -\beta, \quad \beta + \delta = 0\implies \delta = -\beta.
Substituindo em \alpha + \gamma + \delta = 0
\alpha + (-\beta) + (-\beta)=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 2\beta.
Portanto o sistema tem solução não trivial, por exemplo \beta=1\implies(\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(2,1,-1,-1).

Passo 5

Como existe solução não trivial para a combinação linear nula, as matrizes de \mathcal{B} são linearmente dependentes. Logo \mathcal{B} não é base de V.

Resposta

\mathcal{B} não é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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