Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V.
V=M_{22}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathcal{B}=\bigl\{B_1,B_2,B_3,B_4\bigr\}\subset V=M_{2\times2}(\mathbb{R})
com
B_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\; B_2=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; B_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},\; B_4=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}
é base de V. Como \dim V=4, basta mostrar que esses quatro vetores são linearmente independentes (LI).

Passo 2

Considere a combinação linear nula
\alpha_1B_1+\alpha_2B_2+\alpha_3B_3+\alpha_4B_4 =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Escrevendo em coordenadas (entrada a entrada), temos \alpha_1[1,0,0,1]+\alpha_2[0,-1,1,0]+\alpha_3[1,1,1,1]+\alpha_4[1,1,1,-1]=[0,0,0,0].

Passo 3

O sistema resultante é
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\\ -\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+\alpha_3-\alpha_4=0. \end{cases}
Da segunda e terceira equações obtemos
(\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)-\bigl(-\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4\bigr)=0 \;\Longrightarrow\;2\alpha_2=0 \;\Longrightarrow\;\alpha_2=0.
Substituindo em uma delas dá \alpha_3+\alpha_4=0, ou seja, \alpha_3=-\alpha_4.

Passo 4

Usando \alpha_2=0 e \alpha_3=-\alpha_4 nas outras duas equações:
da primeira vem \alpha_1+(-\alpha_4)+\alpha_4=\alpha_1=0;
da quarta vem \alpha_1+(-\alpha_4)-\alpha_4= -2\alpha_4=0, logo \alpha_4=0.
Assim \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0, implicando que \{B_i\} é LI.

Passo 5

Quatro vetores LI em um espaço de dimensão 4 formam automaticamente uma base, pois então também geram V.

Resposta

\mathcal{B} é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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