Determine se o conjunto mathcal{B} é uma base para o espaço vetorial V. V=M_{22}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se \mathcal{B}=\bigl\{B_1,B_2,B_3,B_4\bigr\}\subset V=M_{2\times2}(\mathbb{R})
com
Substituindo em uma delas dá \alpha_3+\alpha_4=0, ou seja, \alpha_3=-\alpha_4.
Passo 4
Usando \alpha_2=0 e \alpha_3=-\alpha_4 nas outras duas equações:
da primeira vem \alpha_1+(-\alpha_4)+\alpha_4=\alpha_1=0;
da quarta vem \alpha_1+(-\alpha_4)-\alpha_4= -2\alpha_4=0, logo \alpha_4=0.
Assim \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0, implicando que \{B_i\} é LI.
Passo 5
Quatro vetores LI em um espaço de dimensão 4 formam automaticamente uma base, pois então também geram V.
Resposta
\mathcal{B} é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).