Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(y^{2}-2 x\right) \mathbf{i}+2 x y \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(y^2 - 2x,\;2xy\bigr)
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}. O conteúdo aqui é o teste da igualdade das derivadas parciais \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x em uma região simplesmente conectada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2 - 2x\bigr) = 2y,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr) = 2y.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos P(x,y)=y^2-2x em relação a x:
f(x,y) = \int (y^2 - 2x)\,dx = x\,y^2 - x^2 + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos f em relação a y e igualamos a Q(x,y)=2xy:
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x\,y + g'(y) \stackrel{!}{=}2x\,y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad g(y)=C,
com C constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y)=x\,y^2 - x^2 + C,
pois \nabla f=(y^2-2x,\;2xy)=\mathbf{F}(x,y).

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