Determine se
é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo aqui é o teste da igualdade das derivadas parciais
e
em uma região simplesmente conectada.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
em todo
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
com
constante.
Resposta
Uma função potencial é
pois
.