Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=y e^{y} \mathbf{i}+\left(e^{x}+e^{y}\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\,\mathbf{i} + Q(x,y)\,\mathbf{j}
com
P(x,y)=y\,e^y, \quad Q(x,y)=e^x+e^y.
Queremos saber se existe função escalar f em \mathbb{R}^2 tal que \nabla f=\mathbf{F}. Como \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo e P,Q têm derivadas parciais contínuas, basta checar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;\overset{?}{=}\; \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calcular o termo à esquerda:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^y\bigr) = y\,e^y + e^y.

Passo 3

Calcular o termo à direita:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x + e^y\bigr) = e^x.

Passo 4

Como
\frac{\partial P}{\partial y} = y\,e^y + e^y \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x,
essas expressões não coincidem para x,y arbitrários. Logo \mathbf{F} não satisfaz a condição de conservatividade em \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathbf{F} não é conservativo.

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