Determine o conjunto de números reais x que satisfazem as desigualdades abaixo.
(2 x-5)(-x+4) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto de xinR tais que
(2x-5)(-x+4)<=0
O conteúdo a usar é análise de sinal de produto de fatores lineares: vamos encontrar onde cada fator se anula, dividir a reta em intervalos e testar o sinal em cada um.

Passo 2

Definimos os dois fatores e achamos suas raízes:
2x-5=0implies x=52,
-x+4=0implies x=4
Esses valores particionam a reta em três intervalos: (-infty,tfrac52), (tfrac52,4) e (4,infty).

Passo 3

Determinamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • Para x<tfrac52: 2x-5<0 e -x+4>0, então o produto é negativo.
  • Para tfrac52<x<4: 2x-5>0 e -x+4>0, então o produto é positivo.
  • Para x>4: 2x-5>0 e -x+4<0, então o produto é negativo.

Passo 4

Queremos (2x-5)(-x+4)<=0, ou seja, produto negativo ou zero. Ele é negativo em (-infty,tfrac52)cup(4,infty) e vale zero exatamente em x=tfrac52 e em x=4. Dessa forma, o conjunto solução é
(-infty,tfrac52];cup;[4,infty)

Resposta

(-infty,tfrac52]cup[4,infty)

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