O valor médio de uma função f numa região R pode ser calculado por
integral duplaR f(x, y) d AArea(R)
A temperatura numa placa resfriada R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 2 e 1 <= y <= 5 é dada por f(x, y)=x y+y^-2 em graus Celsius. Calcule sua temperatura média.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura média de uma placa R no plano, dada por
integral duplaRf(x,y),dAArea(R),
onde R=(x,y)mid 0<= x<= 2,;1<= y<= 5 e
f(x,y)=x,y + y^-2
Para resolver, precisamos calcular a área de R e a integral dupla integral duplaRf(x,y),dA.

Passo 2

Calculamos a área de R. Como R é um retângulo de lados de comprimento 2 e 4,
Area(R) = (2-0),(5-1) = 2cdot 4 = 8

Passo 3

Agora vamos à integral dupla.
integral duplaRf(x,y),dA = integralx=0^2!integraly=1^5l(x,y + y^-2r),dy,dx
Dentro, separamos em duas integrais:
integral1^5x,y,dy = xintegral1^5y,dy = x[tfrac12(5^2-1^2)] = xcdot 12 = 12x,
integral1^5y^-2,dy = l[-y^-1r]1^5 = -tfrac15 + 1 = tfrac45
Logo o integrando em x é 12x + tfrac45, e assim
integral0^2l(12x + tfrac45r),dx = 12integral0^2x,dx + tfrac45integral0^21,dx = 12cdotl[tfracx^22r]0^2 + tfrac45cdot 2 = 12cdot 2 + tfrac85 = 24 + tfrac85 = tfrac120 + 85 = tfrac1285

Passo 4

Finalmente, dividimos a integral pela área para obter a média:
integral duplaRf(x,y),dAArea(R) = tfrac12858 = 1285cdot 18 = 165

Resposta

A temperatura média na placa é 165 graus Celsius.

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