A função densidade de carga da regiâo delimitada pelas circunferėncias x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9, e acima da reta y=x, é dada pela funçåo f(x, y)= e^-x^2-y^2. Calcule sua integral para encontrar a carga total sobre o disco.

Passo 1

O enunciado pede a carga total sobre a região limitada pelas circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 e acima da reta y=x, sabendo que a densidade de carga é
f(x,y)=e^-x^2-y^2
Vamos usar coordenas polares para transformar essa integral dupla.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
e a densidade vira
f(r,theta)=e^-r^2
A região é o anel 2<= r<=3 dentro da metade-plano y>= x, isto é, tantheta>=1, logo
thetainl[tfracpi4,tfrac5pi4r]

Passo 3

Escrevemos então a integral para a carga total:
Q=integraltheta=pi/4^5pi/4integralr=2^3e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral2^3e^-r^2,r,dr
Use a substituição u=r^2, du=2r,dr, então
integral e^-r^2r,dr =-12e^-r^2,
e
integral2^3e^-r^2r,dr =-tfrac12l(e^-9-e^-4r) =tfrac12l(e^-4-e^-9r)

Passo 5

Agora integramos em theta:
Q =integralpi/4^5pi/4tfrac12l(e^-4-e^-9r),dtheta =tfrac12l(e^-4-e^-9r)l(tfrac5pi4-tfracpi4r) =tfrac12l(e^-4-e^-9r),pi

Resposta

Q = pi2l(e^-4-e^-9r)

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