Determine o conjunto de números reais x que satisfazem as desigualdades abaixo.
5 x-16x-2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
5x-16x-2 <= 1
Aqui o conteúdo é análise de sinal de uma função racional: precisamos determinar o domínio (onde o denominador não zera), escrever tudo num único quociente e estudar onde ele é negativo, nulo ou positivo.

Passo 2

Subtraímos 1 de ambos os lados e colocamos em um único denominador:
5x-16x-2 - 1 <= 0 Longrightarrow 5x-16 - (x-2)x-2 <= 0 Longrightarrow 4x-14x-2 <= 0

Passo 3

Fatoramos o numerador:
4x-14x-2 =2(2x-7)x-2
Os pontos críticos são x=72 (onde o numerador anula) e x=2 (onde o denominador anula e a expressão não está definida).

Passo 4

Fazemos o quadro de sinais de 2x-7x-2:
– Para x<2:
2x-7<0 e x-2<0 Rightarrow quociente positivo.
– Para 2<x<tfrac72:
2x-7<0 e x-2>0 Rightarrow quociente negativo.
– Para x>tfrac72:
2x-7>0 e x-2>0 Rightarrow quociente positivo.
Queremos 2x-7x-2<=0, ou seja, região onde é negativo ou zero.

Passo 5

Incluímos o ponto em que o numerador zera ( x=tfrac72), mas excluímos x=2 (denominador zero). Logo a solução é
2 < x <= 72

Resposta

(2,tfrac72]

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