A função densidade do bloco sólido delimitado pelos planos x=0, x= pi / 2, y=1, y=e, z=0, z=1 é dada por rho(x, y, z)=3 e^prime sen^2(x) cos (x)y. Calcule sua integral para encontrar a massa do bloco.

Passo 1

O enunciado pede a massa do bloco sólido delimitado por
,0<= x<=pi/2,
,1<= y<= e,
,0<= z<=1
cuja densidade é
rho(x,y,z)=3,e^z,sin^2(x),cos(x)y
Para achar a massa usamos uma integral tripla
M=integral triplablocorho(x,y,z),dV
e aplicamos o Teorema de Fubini para separar as variáveis.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a integral tripla e separamos:
M =integralx=0^pi/2integraly=1^eintegralz=0^1 3,e^z,sin^2(x),cos(x)y,dz,dy,dx
Como o integrando é produto de funções que dependem cada uma de uma única variável, temos
M =3;gl(integralz=0^1e^zdzgr) ;gl(integraly=1^e1ydygr) ;gl(integralx=0^pi/2sin^2(x)cos(x),dxgr)

Passo 3

Calculamos a parte em z:
integral0^1e^zdz =l[e^zr]0^1 =e^1-e^0 =e-1

Passo 4

Calculamos a parte em y:
integral1^e1ydy =l[ln(y)r]1^e =ln(e)-ln(1) =1-0 =1

Passo 5

Calculamos a parte em x usando u=sin(x), du=cos(x),dx:
integral0^pi/2sin^2(x)cos(x),dx =integralu=0^1u^2,du =l[tfracu^33r]0^1 =13

Passo 6

Substituindo tudo em M:
M =3;l(e-1r)times1times13 =e-1

Resposta

A massa do bloco é e-1.

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