Encontre a equação do plano tangente a z=raizx^2+y^2+y^3 em(-4,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por z = raizx^2 + y^2 + y^3 no ponto (-4, 3). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , avaliar essas derivadas no ponto dado e então usar essas informações para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de z no ponto (-4, 3). Substituindo x = -4 e y = 3 na equação da superfície:
z = raiz(-4)^2 + 3^2 + 3^3 = raiz16 + 9 + 27 = raiz25 + 27 = 5 + 27 = 32
Portanto, o ponto completo é (-4, 3, 32).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y . Vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y .
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial zpartial x = xraizx^2 + y^2
Em seguida, a derivada parcial em relação a y :
partial zpartial y = yraizx^2 + y^2 + 3y^2

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (-4, 3).
Para partial zpartial x :
partial zpartial x g|(-4,3) = -4raiz(-4)^2 + 3^2 = -4raiz16 + 9 = -45 = -45
Para partial zpartial y :
partial zpartial y g|(-4,3) = 3raiz(-4)^2 + 3^2 + 3(3)^2 = 35 + 27 = 35 + 1355 = 1385

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície z = f(x, y) no ponto (x0, y0, z0) é:
z - z0 = partial zpartial xg|(x0,y0) (x - x0) + partial zpartial yg|(x0,y0) (y - y0)
Substituindo os valores que encontramos:
z - 32 = ( -45 )(x + 4) + ( 1385 )(y - 3)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara. Distribuindo os coeficientes:
z - 32 = -45x - 165 + 1385y - 4145
Agora, somando os termos constantes:
z - 32 = -45x + 1385y - 4305
Simplificando:
z - 32 = -45x + 1385y - 86
Adicionando 32 em ambos os lados:
z = -45x + 1385y - 54

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = -45x + 1385y - 54

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