Exercício 5. A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem como fator integrante mu(x)=x. Determine todas as possíveis funções g.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de 1-forma
g(x),dy + (y + x),dx = 0
e informa que mu(x)=x é um fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes; vamos usar a condição de exatidão após multiplicar por mu.

Passo 2

Antes de aplicar o fator, identificamos
M(x,y)=y+x, N(x,y)=g(x)
Multiplicando por mu(x)=x, a 1-forma torna-se
hat M(x,y),dx + hat N(x,y),dy
com
hat M(x,y)=x,(y+x), hat N(x,y)=x,g(x)
A condição de exatidão exige
partial hat Mpartial y ;=;partial hat Npartial x

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partial hat Mpartial y =partialpartial yl[x(y+x)r] = x,
partial hat Npartial x =partialpartial xl[x,g(x)r] = g(x) + x,g'(x)
Igualando-as, obtemos a equação para g:
x = g(x) + x,g'(x)

Passo 4

Reescrevendo
x,g'(x) + g(x) = x
vemos uma equação linear de 1ª ordem em g. O fator integrante é
exp!l(!integral tfrac1x,dxr)=x
Multiplicando por x e observando que ddx[x,g(x)]=x,g'(x)+g(x), temos
ddxl[x,g(x)r]=x
Integrando em x:
x,g(x)=integral x,dx=tfrac12x^2 + C,
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g(x)=x2+Cx

Resposta

g(x)=x2+Cx,
com C constante arbitrária.

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