Exercício 5. A equação
tem como fator integrante
. Determine todas as possíveis funções
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de 1-forma
e informa que
é um fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes; vamos usar a condição de exatidão após multiplicar por
.
Passo 2
Antes de aplicar o fator, identificamos
Multiplicando por
, a 1-forma torna-se
com
A condição de exatidão exige
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Igualando-as, obtemos a equação para
:
Passo 4
Reescrevendo
vemos uma equação linear de 1ª ordem em
. O fator integrante é
Multiplicando por
e observando que
, temos
Integrando em
:
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Resposta
com
constante arbitrária.