Determine o conjunto de números reais que satisfazem o sistema de 2 inequações abaixo. Isto é, satisfazem simultaneamente as 2 inequações.
l-2 x^2-x+1>0 4 x^2-8 x+3<0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de xinR que satisfaz simultaneamente as duas inequações quadráticas. O conteúdo aqui é inequações de segundo grau: vamos encontrar as raízes de cada polinômio, montar os intervalos em que cada expressão é positiva ou negativa e depois intersectar esses intervalos.

Passo 2

Resolver -2x^2 - x + 1 > 0. Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo o sinal da desigualdade, obtemos
2x^2 + x - 1 < 0
O discriminante é
De<a = 1^2 - 4cdot2cdot(-1) = 1 + 8 = 9,
portanto as raízes são
x = -1 pm raiz92cdot2 = -1 pm 34,
isto é, x1 = -1 e x2 = tfrac12. Como o coeficiente de x^2 em 2x^2 + x - 1 é positivo, a expressão é negativa exatamente entre as raízes. Logo
-2x^2 - x + 1 > 0 Long<=ftrightarrow -1 < x < tfrac12

Passo 3

Resolver 4x^2 - 8x + 3 < 0. O discriminante é
De<a = (-8)^2 - 4cdot4cdot3 = 64 - 48 = 16,
e as raízes são
x = 8 pm raiz162cdot4 = 8 pm 48,
isto é, x1 = tfrac12 e x2 = tfrac32. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica abaixo do eixo x entre as raízes. Logo
4x^2 - 8x + 3 < 0 Long<=ftrightarrow tfrac12 < x < tfrac32

Passo 4

A solução do sistema é a interseção dos dois intervalos
(-1,tfrac12)cap(tfrac12,tfrac32)
Como os dois intervalos só se “encostam” em x=tfrac12, mas esse ponto não pertence a nenhum dos dois (são estritos), a interseção é vazia.

Resposta

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