Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) O plano tangente;
x^2+y^2-2 x y-x+3 y-z=-4, P0(2,-3,18)

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
x^2+y^2-2xy - x + 3y - z = -4
e pede o plano tangente em P0(2,-3,18).
O conteúdo é: superfícies definidas por F(x,y,z)=0 e plano tangente via gradiente. Vamos definir
F(x,y,z)=x^2+y^2-2xy - x + 3y - z +4
de modo que F(x,y,z)=0 reproduz a superfície do enunciado e depois usar nabla F(P0).

Passo 2

Primeiro conferimos que P0 está na superfície. Substituindo (2,-3,18) em x^2+y^2-2xy - x +3y - z, obtemos
2^2+(-3)^2-2cdot2cdot(-3)-2+3cdot(-3)-18 =4+9+12-2-9-18=-4,
que é exatamente o lado direito do enunciado. Logo P0 pertence à superfície.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de
F(x,y,z)=x^2+y^2-2xy - x + 3y - z +4
Elas são
Fx = partial Fpartial x = 2x - 2y -1, Fy = partial Fpartial y = 2y - 2x +3, Fz = partial Fpartial z = -1

Passo 4

Avalia-mos o gradiente em P0(2,-3,18):
Fx(2,-3,18)=2cdot 2 - 2cdot (-3) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9,
Fy(2,-3,18)=2cdot (-3) - 2cdot 2 + 3 = -6 - 4 + 3 = -7,
Fz(2,-3,18) = -1
Portanto
nabla F(2,-3,18) = (9,,-7,,-1)

Passo 5

O plano tangente à superfície em P0 satisfaz
nabla F(P0)cdotl((x,y,z)-(2,-3,18)r)=0
Isto é
9(x-2) -7(y+3) -1,(z-18)=0
Podemos deixar em forma mais simples:
9x -7y - z =21

Resposta

O plano tangente é
9(x-2);-;7(y+3);-;(z-18);=;0,
ou equivalente
9x ;-;7y;-;z;=;21

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