Escreva a equação de uma reta que passe pelos pontos de interseção das parábolas y=(x-3)(x-7) e y=2-(x-6)^2.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas
y = (x-3)(x-7)
e
y = 2 - (x-6)^2
Para isso, vamos (i) achar esses pontos igualando as duas expressões de y, (ii) calcular a inclinação da reta que os une e (iii) determinar o termo independente.

Passo 2

Igualamos
(x-3)(x-7) ;=; 2 - (x-6)^2
Expandindo e reorganizando, obtemos
x^2 - 10x + 21 ;=; 2 - l(x^2 - 12x + 36r) Longrightarrow 2x^2 - 22x + 55 = 0
O discriminante é
De<a = (-22)^2 - 4cdot2cdot55 = 484 - 440 = 44,
logo as raízes são
x = 22 pm raiz444 = 11 pm raiz112

Passo 3

Para cada
xpm = 11 pm raiz112,
calculamos
ypm = (xpm-3)(xpm-7) = -1 pm raiz112
Assim, os pontos de interseção são
P+ = l(tfrac11 + raiz112,,-1 + tfracraiz112r), P- = l(tfrac11 - raiz112,,-1 - tfracraiz112r)

Passo 4

A inclinação da reta que liga P+ a P- é
m = y- - y+x- - x+ = l(-1 - tfracraiz112r) - l(-1 + tfracraiz112r) l(tfrac11 - raiz112r) - l(tfrac11 + raiz112r) = 1

Passo 5

Usando y = mx + b com m=1, temos y = x + b. Substituindo P+:
-1 + raiz112 = 11 + raiz112 + b Longrightarrow b = -132

Resposta

A reta procurada é
y = x - 132

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