Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V o conjunto de todos os pares ordenados ( \mathrm{a}, \mathrm{b} ) com:
(a) (a, b)+(c, d)=(a+d, b+c) e \propto(a, b)=(\propto \mathbf{a}, \propto \mathbf{b}).

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}
com as operações
(a,b)\oplus(c,d)=(a+d,\;b+c),
\lambda\odot(a,b)=(\lambda a,\;\lambda b).
Queremos ver se (V,\oplus,\odot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}: fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso, e as leis para multiplicação por escalar.

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação por escalar é imediato, pois (a+d,b+c) e (\lambda a,\lambda b) são sempre pares de reais. Logo a operação não sai de V.

Passo 3

Verificamos a comutatividade da soma. Para isso comparamos
(a,b)\oplus(c,d)=(a+d,\;b+c)
com
(c,d)\oplus(a,b)=(c+b,\;d+a)=(b+c,\;d+a).
Em geral (a+d,b+c)\neq(b+c,d+a). Portanto falha o axioma da comutatividade da adição.

Passo 4

Verificamos a associatividade da soma.
Calculemos primeiro
\bigl((a,b)\oplus(c,d)\bigr)\oplus(e,f) =(\,a+d,\;b+c)\oplus(e,f) =(\,a+d+f,\;b+c+e),
e depois
(a,b)\oplus\bigl((c,d)\oplus(e,f)\bigr) =(a,b)\oplus(c+f,\;d+e) =(\,a+(d+e),\;b+(c+f)) =(\,a+d+e,\;b+c+f).
Como (a+d+f,b+c+e)\neq(a+d+e,b+c+f) em geral, não há associatividade.

Passo 5

Para existir elemento neutro 0_V tal que (a,b)\oplus0_V=(a,b) e 0_V\oplus(a,b)=(a,b), tentaríamos 0_V=(0,0). Mas
(a,b)\oplus(0,0)=(a+0,\;b+0)=(a,b),
enquanto
(0,0)\oplus(a,b)=(0+b,\;0+a)=(b,a)\neq(a,b)
para a\neq b. Logo não existe neutro à esquerda e nem inversos aditivos bilaterais.

Resposta

\;(V,\oplus,\odot) não é espaço vetorial, pois falham a comutatividade e a associatividade da soma, bem como a existência de elemento neutro/ inverso aditivo.

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