Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V o conjunto de todos os pares ordenados (
) com:
(a)
e
.
V o conjunto de todos os pares ordenados (
(a)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
com as operações
Queremos ver se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
: fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso, e as leis para multiplicação por escalar.
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação por escalar é imediato, pois
e
são sempre pares de reais. Logo a operação não sai de
.
Passo 3
Verificamos a comutatividade da soma. Para isso comparamos
com
Em geral
. Portanto falha o axioma da comutatividade da adição.
Passo 4
Verificamos a associatividade da soma.
Calculemos primeiro
Calculemos primeiro
e depois
Como
em geral, não há associatividade.
Passo 5
Para existir elemento neutro
tal que
e
, tentaríamos
. Mas
enquanto
para
. Logo não existe neutro à esquerda e nem inversos aditivos bilaterais.