Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V é o conjunto de todas as ternas coordenadas de \mathrm{n}^{\circ s} reais ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} )
com: i) [\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}]+\left[\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{y}_{1}, \boldsymbol{z}_{1}\right]=\left[\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}_{1}, \boldsymbol{z}_{1}\right] ;\\\ \[a .[x, y, z]=[a x, a y, a z] \operatorname{com} a \in \mathrm{R} .\]

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{[x,y,z]\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}
com as operações
[x,y,z]+[x_1,y_1,z_1]=[x_1,\;y+y_1,\;z_1]
e
a\cdot[x,y,z]=[a x,\;a y,\;a z].
Queremos verificar se (V,+,\cdot) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Verificamos primeiro se a adição é bem definida e fechada em V. Dado [x,y,z] e [x_1,y_1,z_1] em V,
[x,y,z]+[x_1,y_1,z_1]=[x_1,\;y+y_1,\;z_1]
é novamente um triplo de reais, logo é fechado e bem definido. O mesmo vale para a multiplicação escalar.

Passo 3

Agora checamos os axiomas de adição (denotados A1–A4):
A1) Comutatividade: deve valer
[u]+[v]=[v]+[u].
Mas
[x,y,z]+[x_1,y_1,z_1]=[x_1,y+y_1,z_1],
enquanto
[x_1,y_1,z_1]+[x,y,z]=[x,\;y_1+y,\;z].
Em geral [x_1,y+y_1,z_1]\neq[x,y_1+y,z]. Logo A1 falha.
A2) Elemento neutro: existe \mathbf{0}=[e_1,e_2,e_3] tal que
[x,y,z]+[e_1,e_2,e_3]=[x,y,z].
Mas
[x,y,z]+[e_1,e_2,e_3]=[e_1,\;y+e_2,\;e_3]
e para isso igualar a [x,y,z] seria preciso e_1=x para todo x e e_3=z para todo z, o que é impossível. Logo A2 falha.
A3) Inverso aditivo: mesmo que existisse neutro, não haveria como achar [u'] tal que [u]+[u'] recupere [u] segundo a regra acima. Logo A3 falha.
A4) Associatividade: uma verificação mostra que
u+(v+w)=(u+v)+w
sempre vale, então A4 está ok.

Passo 4

Verificamos os axiomas de multiplicação escalar (SM1–SM4):
SM1) Compatibilidade (cd)u=c(d\,u) vale pois ambas as operações reduzem-se a multiplicar cada coordenada por cd.
SM2) Identidade escalar 1\cdot u=u vale trivialmente.
SM3) Distributividade sobre soma de vetores:
c\cdot(u+v)=c\cdot[v_1,\;u_2+v_2,\;v_3]=[c\,v_1,\;c(u_2+v_2),\;c\,v_3]
e
c\cdot u+c\cdot v=[c\,u_1,\;c\,u_2,\;c\,u_3]+[c\,v_1,\;c\,v_2,\;c\,v_3] =[c\,v_1,\;c\,u_2+c\,v_2,\;c\,v_3],
que coincidem, logo SM3 está ok.
SM4) Distributividade sobre soma de escalares:
(c+d)\cdot u=[(c+d)u_1,\;(c+d)u_2,\;(c+d)u_3],
porém
c\cdot u+d\cdot u=[d\,u_1,\;c\,u_2+d\,u_2,\;d\,u_3],
e em geral [(c+d)u_1,\dots]\neq[d\,u_1,\dots] se c\neq0. Logo SM4 falha.

Resposta

O conjunto não é espaço vetorial. Falham os seguintes axiomas:
– A1) comutatividade da adição;
– A2) existência do vetor nulo;
– A3) existência de inverso aditivo;
– SM4) distributividade da soma de escalares.

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