Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V é o conjunto de todas as ternas coordenadas de
reais (
)
com: i)
V é o conjunto de todas as ternas coordenadas de
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
com as operações
e
Queremos verificar se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos primeiro se a adição é bem definida e fechada em
. Dado
e
em
,
é novamente um triplo de reais, logo é fechado e bem definido. O mesmo vale para a multiplicação escalar.
Passo 3
Agora checamos os axiomas de adição (denotados A1–A4):
A1) Comutatividade: deve valer
Mas
enquanto
Em geral
. Logo A1 falha.
A2) Elemento neutro: existe
tal que
Mas
e para isso igualar a
seria preciso
para todo
e
para todo
, o que é impossível. Logo A2 falha.
A3) Inverso aditivo: mesmo que existisse neutro, não haveria como achar
tal que
recupere
segundo a regra acima. Logo A3 falha.
A4) Associatividade: uma verificação mostra que
sempre vale, então A4 está ok.
Passo 4
Verificamos os axiomas de multiplicação escalar (SM1–SM4):
SM1) Compatibilidade
vale pois ambas as operações reduzem-se a multiplicar cada coordenada por
.
SM2) Identidade escalar vale trivialmente.
SM3) Distributividade sobre soma de vetores:
SM2) Identidade escalar
SM3) Distributividade sobre soma de vetores:
e
que coincidem, logo SM3 está ok.
SM4) Distributividade sobre soma de escalares:
SM4) Distributividade sobre soma de escalares:
porém
e em geral
se
. Logo SM4 falha.
Resposta
O conjunto não é espaço vetorial. Falham os seguintes axiomas:
– A1) comutatividade da adição;
– A2) existência do vetor nulo;
– A3) existência de inverso aditivo;
– SM4) distributividade da soma de escalares.
– A1) comutatividade da adição;
– A2) existência do vetor nulo;
– A3) existência de inverso aditivo;
– SM4) distributividade da soma de escalares.