Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V é o conjunto dado por
e z reais
, com as operações usuais em
.
V é o conjunto dado por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
com as operações usuais de
é um espaço vetorial.
Conteúdo: teste de axiomas de espaço vetorial (fechamento, neutro, etc.).
Conteúdo: teste de axiomas de espaço vetorial (fechamento, neutro, etc.).
Passo 2
Teste de fechamento em relação à adição: seja
Então
e a segunda componente vale
, não
. Logo
, portanto falha o axioma de fechamento sob adição.
Passo 3
Teste da existência do vetor zero: o vetor zero em
é
porém sua segunda componente é
, então
. Falha o axioma de existência do elemento neutro aditivo.
Passo 4
Teste de fechamento sob multiplicação escalar: tomemos
e
Então
Para
, a segunda componente
, logo
. Falha também o fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
Os axiomas que falham são:
- Fechamento sob adição.
- Existência do vetor zero (neutro aditivo).
- Fechamento sob multiplicação escalar.