Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V é o conjunto dado por \mathrm{V}=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\\ z\end{array}\right] / x\right. e z reais \}, com as operações usuais em \mathrm{M}_{1,3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \bigl\{[\,x\;1\;z\,]\mid x,z\in\mathbb{R}\bigr\}
com as operações usuais de \mathrm{M}_{1,3} é um espaço vetorial.
Conteúdo: teste de axiomas de espaço vetorial (fechamento, neutro, etc.).

Passo 2

Teste de fechamento em relação à adição: seja
u=[\,x_1\;1\;z_1\,],\quad v=[\,x_2\;1\;z_2\,]\in V.
Então
u+v = [\,x_1+x_2\;2\;z_1+z_2\,],
e a segunda componente vale 2, não 1. Logo u+v\notin V, portanto falha o axioma de fechamento sob adição.

Passo 3

Teste da existência do vetor zero: o vetor zero em \mathrm{M}_{1,3} é
0 = [\,0\;0\;0\,],
porém sua segunda componente é 0\neq1, então 0\notin V. Falha o axioma de existência do elemento neutro aditivo.

Passo 4

Teste de fechamento sob multiplicação escalar: tomemos \alpha\in\mathbb{R} e
u=[\,x\;1\;z\,]\in V.
Então
\alpha\,u = [\,\alpha x\;\alpha\cdot1\;\alpha z\,] = [\,\alpha x\;\alpha\;\alpha z\,].
Para \alpha\neq1, a segunda componente \alpha\neq1, logo \alpha u\notin V. Falha também o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

V não é espaço vetorial.
Os axiomas que falham são:
  • Fechamento sob adição.
  • Existência do vetor zero (neutro aditivo).
  • Fechamento sob multiplicação escalar.

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