Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
Seja B o conjunto dado por:
com as operações usuais em
.
Seja B o conjunto dado por:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre
. Para isso, usamos o critério de subespaço:
deve conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar.
Passo 2
Testamos a presença do vetor nulo
. Avaliando na desigualdade:
Logo
, o que já viola o axioma da existência do elemento neutro aditivo.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob adição. Se
, então
deve pertencer a
para que
. Mas vimos que
, então não há fechamento sob adição nem existência de inverso aditivo.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para qualquer
, deve valer
, mas
. Ou seja, falta fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como falham
- existência do vetor nulo (axioma identidade aditiva),
- existência de inverso aditivo,
- fechamento sob adição,
- fechamento sob multiplicação escalar,
entãonão é um espaço vetorial.