Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
Seja B o conjunto dado por: \mathrm{B}=\left\{(x, y) \in \boldsymbol{R}^{2} / x^{2}+y^{2}-4 x+6 y>1\right\} com as operações usuais em \boldsymbol{R}^{\mathbf{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
B = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 - 4x + 6y > 1\}
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso, usamos o critério de subespaço: B deve conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar.

Passo 2

Testamos a presença do vetor nulo (0,0). Avaliando na desigualdade:
0^2 + 0^2 - 4\cdot0 + 6\cdot0 = 0 \not> 1.
Logo (0,0)\notin B, o que já viola o axioma da existência do elemento neutro aditivo.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição. Se v\in B, então -v deve pertencer a B para que v+(-v)=0\in B. Mas vimos que 0\notin B, então não há fechamento sob adição nem existência de inverso aditivo.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para qualquer v\in B, deve valer 0\cdot v = (0,0)\in B, mas (0,0)\notin B. Ou seja, falta fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como falham
  • existência do vetor nulo (axioma identidade aditiva),
  • existência de inverso aditivo,
  • fechamento sob adição,
  • fechamento sob multiplicação escalar,
    então B não é um espaço vetorial.

Resposta

B não é um espaço vetorial; falham os axiomas de existência do vetor nulo, existência de inverso aditivo, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar.

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