Seja \mathbf{V}=\left\{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] \in \boldsymbol{R}^{\mathbf{2}} / \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{R}\right\} com as operações:
I) [x, y]+\left[x_{1}, y_{1}\right]=\left[x+x_{1}, y+y_{1}+1\right];
II) a. [x, y]=[a x, a y+a-1]. V é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb R^2 as operações
[x,y]+[x_1,y_1]=[\,x+x_1,\;y+y_1+1\,],
a\cdot[x,y]=[\,a x,\;a y + a - 1\,].
Queremos verificar se (V,+,\cdot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb R.

Passo 2

Verificamos a existência do elemento neutro aditivo 0_V e do inverso de cada vetor.
Procuramos [x_0,y_0] tal que para todo [x,y]
[x,y]+[x_0,y_0]=[x,y].
Pela definição da soma isso dá
[x+x_0,\;y+y_0+1]=[x,y],
logo x_0=0 e y_0+1=0, ou seja
0_V = [0,-1].
Dado [x,y], seu inverso aditivo [x',y'] satisfaz
[x,y]+[x',y']=[0,-1],
isto é
[x+x',\;y+y'+1]=[0,-1]\implies x'=-x,\;y'=-y-2.
Portanto todo vetor tem inverso.

Passo 3

Verificamos a identidade escalar:
1\cdot[x,y]=[\,1\cdot x,\;1\cdot y +1 -1\,]=[x,y],
logo 1 atua como identidade.

Passo 4

Verificamos a\cdot(u+v)=a\cdot u + a\cdot v. Seja u=[x,y] e v=[x_1,y_1]. Então
u+v=[x+x_1,\;y+y_1+1],
a\cdot(u+v)=[\,a(x+x_1),\;a(y+y_1+1)+a-1\,]
\quad=[\,ax+ax_1,\;ay+ay_1+a + a-1\,]
\quad=[\,ax+ax_1,\;ay+ay_1+2a-1\,].
Por outro lado
a\cdot u=[\,ax,\;ay+a-1\,],\quad a\cdot v=[\,ax_1,\;ay_1+a-1\,],
a\cdot u + a\cdot v =[\,ax+ax_1,\;(ay+a-1)+(ay_1+a-1)+1\,]
\quad=[\,ax+ax_1,\;ay+ay_1+2a-2+1\,] =[\,ax+ax_1,\;ay+ay_1+2a-1\,].
Coincide com a\cdot(u+v).

Passo 5

Verificamos (a+b)\cdot v = a\cdot v + b\cdot v. Seja v=[x,y].
(a+b)\cdot[x,y] =[\,(a+b)x,\;(a+b)y + (a+b)-1\,]
\quad=[\,ax+bx,\;ay+by + a+b -1\,].
E
a\cdot[x,y]+b\cdot[x,y] =[\,ax,\;ay+a-1\,]+[\,bx,\;by+b-1\,]
\quad=[\,ax+bx,\;(ay+a-1)+(by+b-1)+1\,]
\quad=[\,ax+bx,\;ay+by + a+b-1\,].
Portanto coincide.

Passo 6

Verificamos (ab)\cdot v = a\cdot(b\cdot v). Seja v=[x,y].
(ab)\cdot[x,y] =[\,ab x,\;ab y + ab -1\,].
Por outro lado
b\cdot[x,y]=[\,b x,\;b y + b -1\,],
a\cdot(b\cdot[x,y])=[\,a(bx),\;a(by+b-1)+a-1\,]
\quad=[\,abx,\;aby+ab -a + a -1\,] =[\,ab x,\;ab y + ab -1\,].
Coincidem.

Resposta

Sim. Com estas verificações, todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, logo (V,+,\cdot) é um espaço vetorial sobre \mathbb R.

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