Seja
com as operações:
I)
;
II) a.
. V é um espaço vetorial?
I)
II) a.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Queremos verificar se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos a existência do elemento neutro aditivo
e do inverso de cada vetor.
Procuramos tal que para todo
Procuramos
Pela definição da soma isso dá
logo
e
, ou seja
Dado
, seu inverso aditivo
satisfaz
isto é
Portanto todo vetor tem inverso.
Passo 3
Verificamos a identidade escalar:
logo
atua como identidade.
Passo 4
Verificamos
. Seja
e
. Então
Por outro lado
Coincide com
.
Passo 5
Verificamos
. Seja
.
E
Portanto coincide.
Passo 6
Verificamos
. Seja
.
Por outro lado
Coincidem.
Resposta
Sim. Com estas verificações, todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, logo
é um espaço vetorial sobre
.