Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham: V o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau \leq 2, com as operações:
Queremos verificar se (V,+_{\!V},\odot) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Precisamos testar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade, associatividade do +, existência de elemento neutro e inverso aditivo, compatibilidade da multiplicação por escalar, elemento escalar neutro etc.
Passo 2
Verificamos fechamento, comutatividade e associatividade de +_{\!V}. Sejam u=(a_{2},a_{1},a_{0}), v=(b_{2},b_{1},b_{0}), w=(c_{2},c_{1},c_{0}).
Fechamento: u+_{\!V}v=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}) ainda é um triplo real, logo está em V.
Associatividade: (u+_{\!V}v)+_{\!V}w =((a_{0}+b_{0})+c_{0},\, (a_{1}+b_{1})+c_{1},\, (a_{2}+b_{2})+c_{2}) u+_{\!V}(v+_{\!V}w) =(a_{0}+(b_{0}+c_{0}),\,a_{1}+(b_{1}+c_{1}),\,a_{2}+(b_{2}+c_{2})),
e como a adição em \mathbb{R} é associativa os dois resultados coincidem.
Passo 3
Procuramos um elemento neutro 0_{V}=(s_{2},s_{1},s_{0})\) tal que, para todo \(u=(a_{2},a_{1},a_{0})\),
\[u+_{\!V}0_{V}=(a_{0}+s_{0},\,a_{1}+s_{1},\,a_{2}+s_{2})=(a_{2},a_{1},a_{0}).
para todo a_{0},a_{1},a_{2}\]. Da segunda equação vem \(s_{1}=0, mas da primeira e da terceira teríamos s_{0}=a_{2}-a_{0} e s_{2}=a_{0}-a_{2},
que dependem de u. Não existe um único (s_{2},s_{1},s_{0}) que funcione para todo u. Logo não há elemento neutro aditivo.
Passo 4
Sem elemento neutro aditivo não faz sentido falar de inversos aditivos consistentes, mas podemos ver que pedir u+_{\!V}v=0_{V} não tem solução universal. Então falha também o axioma de existência de inversos aditivos.
Passo 5
Mesmo que quiséssemos olhar a compatibilidade com escalar 1\odot u=u, teríamos
que só coincide com (a_{2},a_{1},a_{0}) se a_{0}=a_{2} para todo polinômio — o que não vale em geral. Portanto também falha o axioma do escalar neutro.
Resposta
\,V com as operações dadas não é espaço vetorial.
Os axiomas que falham são: