Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau \leq 2, com as operações:
\begin{aligned} & \left(a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\right)+\left(b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}\right)=\left(a_{0}+b_{0}\right) x^{2}+\left(a_{1}+b_{1}\right) x+\left(a_{2}+b_{2}\right) e \\\ & \propto\left(a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\right)=\propto a_{0} x^{2}+\propto a_{1} x+\propto a_{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{\,a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\mid a_{i}\in\mathbb{R}\}
com as operações
(a_{2},a_{1},a_{0})\;+_{\!V}\;(b_{2},b_{1},b_{0}) =(\,a_{0}+b_{0},\;a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2}\,)
e, para \alpha\in\mathbb{R},
\alpha\odot(a_{2},a_{1},a_{0}) =(\,\alpha a_{0},\;\alpha a_{1},\;\alpha a_{2}\,).
Queremos verificar se (V,+_{\!V},\odot) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Precisamos testar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade, associatividade do +, existência de elemento neutro e inverso aditivo, compatibilidade da multiplicação por escalar, elemento escalar neutro etc.

Passo 2

Verificamos fechamento, comutatividade e associatividade de +_{\!V}. Sejam u=(a_{2},a_{1},a_{0}), v=(b_{2},b_{1},b_{0}), w=(c_{2},c_{1},c_{0}).
  • Fechamento: u+_{\!V}v=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}) ainda é um triplo real, logo está em V.
  • Comutatividade: u+_{\!V}v=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})=(b_{0}+a_{0},b_{1}+a_{1},b_{2}+a_{2})=v+_{\!V}u.
  • Associatividade:
    (u+_{\!V}v)+_{\!V}w =((a_{0}+b_{0})+c_{0},\, (a_{1}+b_{1})+c_{1},\, (a_{2}+b_{2})+c_{2}) u+_{\!V}(v+_{\!V}w) =(a_{0}+(b_{0}+c_{0}),\,a_{1}+(b_{1}+c_{1}),\,a_{2}+(b_{2}+c_{2})),
    e como a adição em \mathbb{R} é associativa os dois resultados coincidem.

Passo 3

Procuramos um elemento neutro 0_{V}=(s_{2},s_{1},s_{0})\) tal que, para todo \(u=(a_{2},a_{1},a_{0})\), \[u+_{\!V}0_{V}=(a_{0}+s_{0},\,a_{1}+s_{1},\,a_{2}+s_{2})=(a_{2},a_{1},a_{0}).
Isso exige
\begin{cases} a_{0}+s_{0}=a_{2},\\\ a_{1}+s_{1}=a_{1},\\\ a_{2}+s_{2}=a_{0}, \end{cases}
para todo a_{0},a_{1},a_{2}\]. Da segunda equação vem \(s_{1}=0, mas da primeira e da terceira teríamos s_{0}=a_{2}-a_{0} e s_{2}=a_{0}-a_{2},
que dependem de u. Não existe um único (s_{2},s_{1},s_{0}) que funcione para todo u. Logo não há elemento neutro aditivo.

Passo 4

Sem elemento neutro aditivo não faz sentido falar de inversos aditivos consistentes, mas podemos ver que pedir u+_{\!V}v=0_{V} não tem solução universal. Então falha também o axioma de existência de inversos aditivos.

Passo 5

Mesmo que quiséssemos olhar a compatibilidade com escalar 1\odot u=u, teríamos
1\odot(a_{2},a_{1},a_{0}) =(\,1\cdot a_{0},\,1\cdot a_{1},\,1\cdot a_{2}\,) =(a_{0},a_{1},a_{2}),
que só coincide com (a_{2},a_{1},a_{0}) se a_{0}=a_{2} para todo polinômio — o que não vale em geral. Portanto também falha o axioma do escalar neutro.

Resposta

\,V com as operações dadas não é espaço vetorial.
Os axiomas que falham são:
  • existência de elemento neutro aditivo,
  • existência de inversos aditivos,
  • propriedade 1\odot v=v.

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