Seja
o conjunto de todos os pares ordenados (a,b). Mostre que
não é um Espaço Vetorial com adição e multiplicação por escalar dadas por:
e
;
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e a multiplicação por escalar usual
Para ser espaço vetorial precisamos, entre outros, de um vetor nulo
que satisfaça
para todo
. Vamos ver que isso falha.
Passo 2
Procuramos um candidato
satisfazendo primeiro
Pela definição,
deve ser igual a
. Igualando componentes:
Logo, o único possível “neutro à direita” é
.
Passo 3
Agora testamos se esse candidato funciona também “à esquerda”:
Para ser neutro teríamos de ter
para todo
, o que só ocorre quando
. Logo,
não satisfaz
para todos os pares
.
Passo 4
Como não existe vetor nulo que seja tanto neutro à direita quanto à esquerda na adição dada, a estrutura falha na existência do elemento neutro da adição e, portanto, não pode ser um espaço vetorial.