Seja \mathbf{V} o conjunto de todos os pares ordenados (a,b). Mostre que \mathbf{V} não é um Espaço Vetorial com adição e multiplicação por escalar dadas por:
(a, b)+(c, d)=(a+d, b+c) e \alpha(a, b)=(\alpha a, \alpha b);

Passo 1

O enunciado define em \mathbf{V}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\} a “adição”
(a,b)+(c,d) = (\,a+d,\;b+c\,)
e a multiplicação por escalar usual
\alpha\,(a,b) = (\alpha a,\;\alpha b).
Para ser espaço vetorial precisamos, entre outros, de um vetor nulo 0_{\mathbf V} que satisfaça
(v)\quad (a,b)+0_{\mathbf V} = (a,b) \quad\text{e}\quad (0_{\mathbf V})+(a,b) = (a,b)
para todo (a,b). Vamos ver que isso falha.

Passo 2

Procuramos um candidato 0_{\mathbf V}=(x,y) satisfazendo primeiro
(a,b)+(x,y) = (a,b).
Pela definição,
(a,b)+(x,y) = (\,a+y,\;b+x\,)
deve ser igual a (a,b). Igualando componentes:
a+y = a \quad\Longrightarrow\quad y=0,
b+x = b \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo, o único possível “neutro à direita” é (0,0).

Passo 3

Agora testamos se esse candidato funciona também “à esquerda”:
(0,0)+(a,b) = (\,0+b,\;0+a\,) = (b,a).
Para ser neutro teríamos de ter (b,a)=(a,b) para todo (a,b), o que só ocorre quando a=b. Logo, (0,0) não satisfaz
(0,0)+(a,b) = (a,b)
para todos os pares (a,b).

Passo 4

Como não existe vetor nulo que seja tanto neutro à direita quanto à esquerda na adição dada, a estrutura falha na existência do elemento neutro da adição e, portanto, não pode ser um espaço vetorial.

Resposta

\mathbf{V} com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não existe vetor nulo que funcione como elemento neutro da adição.

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