Quais dos seguintes subconjuntos do
são subespaços do
. O conjunto de todos os vetores do tipo:
(a,b,c), onde
;
(a,b,c), onde
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério clássico de subespaço:
-
(contém o vetor nulo). - Fechamento sob soma: se
então . - Fechamento sob escalar: se
e então .
Passo 2
Verificar que o vetor nulo pertence a
.
Escolhendo e
temos
, logo
Escolhendo
Portanto
não é vazio e contém o vetor nulo.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição.
Sejam
Sejam
Então
Se definirmos
e
, percebe-se que
logo
. Assim,
é fechado sob soma.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja e
Seja
Então
Se definirmos
e
, temos
. Logo
é fechado sob escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.