Quais dos seguintes subconjuntos do \mathbf{R}^{3} são subespaços do \mathbf{R}^{3}. O conjunto de todos os vetores do tipo:
(a,b,c), onde \mathrm{c}=\mathrm{a}+\mathrm{b};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{(a,b,c)\in\mathbf{R}^3 \mid c = a + b\}
é um subespaço de \mathbf{R}^3. Para isso, vamos usar o critério clássico de subespaço:
  1. S\neq\varnothing (contém o vetor nulo).
  2. Fechamento sob soma: se u,v\in S então u+v\in S.
  3. Fechamento sob escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbf{R} então \lambda u\in S.

Passo 2

Verificar que o vetor nulo pertence a S.
Escolhendo a=0 e b=0 temos c=0+0=0, logo
(0,0,0)\in S.
Portanto S não é vazio e contém o vetor nulo.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição.
Sejam
u=(a_1,b_1,a_1+b_1)\in S \quad\text{e}\quad v=(a_2,b_2,a_2+b_2)\in S.
Então
u+v = \bigl(a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;(a_1+b_1)+(a_2+b_2)\bigr).
Se definirmos a'=a_1+a_2 e b'=b_1+b_2, percebe-se que
(a_1+b_1)+(a_2+b_2) = a'+b',
logo u+v=(a',b',a'+b')\in S. Assim, S é fechado sob soma.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja \lambda\in\mathbf{R} e
u=(a,b,a+b)\in S.
Então
\lambda u = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda(a+b)) = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda a + \lambda b).
Se definirmos a'=\lambda a e b'=\lambda b, temos \lambda u=(a',b',a'+b')\in S. Logo S é fechado sob escalar.

Passo 5

Como S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares, concluímos que S é um subespaço de \mathbf{R}^3.

Resposta

O conjunto \{(a,b,c)\in\mathbf{R}^3 \mid c = a + b\} é um subespaço de \mathbf{R}^3.

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