Prove por indução que
6^{2 n-2}+3^{n+1}+3^{n-1} é sempre divisível por 11 para todo n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo n\ge1, a quantidade
A_n = 6^{2n-2} + 3^{n+1} + 3^{n-1}
é divisível por 11. Vamos usar o princípio da indução matemática.

Passo 2

Caso base n=1:
A_1 = 6^{2\cdot1-2} + 3^{1+1} + 3^{1-1} =6^0 + 3^2 + 3^0 =1 + 9 + 1 =11,
que é claramente múltiplo de 11.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que A_n seja múltiplo de 11, ou seja,
6^{2n-2} + 3^{n+1} + 3^{n-1} \equiv 0 \pmod{11}.
Dessa congruência segue
6^{2n-2} \equiv -\bigl(3^{n+1}+3^{n-1}\bigr) = -3^{n-1}(3^2+1) = -10\cdot3^{n-1} \equiv 3^{n-1} \pmod{11},
ou seja,
6^{2n-2} - 3^{n-1} \equiv 0 \pmod{11}.

Passo 4

Analisemos A_{n+1}:
A_{n+1} =6^{2(n+1)-2} + 3^{(n+1)+1} + 3^{(n+1)-1} =6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n.
Reescrevendo termos:
6^{2n} = 36\cdot6^{2n-2} = 33\cdot6^{2n-2} + 3\cdot6^{2n-2},
3^{n+2} + 3^n = 9\cdot3^n + 3^n = 10\cdot3^n = 11\cdot3^n - 3^n.
Logo
A_{n+1} =33\cdot6^{2n-2} + 3\cdot6^{2n-2} + 11\cdot3^n - 3^n =11\bigl(3\cdot6^{2n-2}+3^n\bigr) + \bigl(3\cdot6^{2n-2}-3^n\bigr).
Do passo 3 sabemos que 6^{2n-2}-3^{n-1}\equiv0\pmod{11}, então
3\cdot6^{2n-2}-3^n =3\bigl(6^{2n-2}-3^{n-1}\bigr) \equiv0\pmod{11}.
Portanto A_{n+1} também é múltiplo de 11.

Resposta

Por indução, concluímos que para todo n\ge1 a expressão 6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1} é divisível por 11.

Exercícios relacionados