Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
x e y reais e
com as operações usuais de
;
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em
. Para ser espaço vetorial,
deve satisfazer, entre outros, o axioma de fechamento na adição, isto é:
Passo 2
Verificamos primeiro que o vetor nulo
está em
pois
. Logo o axioma da existência de elemento neutro aditivo vale.
Passo 3
Buscamos agora testar o fechamento na adição. Escolhemos dois vetores de
que estão em “ramos” distintos:
Somando-os:
Para
estar em
, precisaríamos
, ou seja
, o que é falso. Portanto
Passo 4
Como não vale o fechamento na adição,
não é espaço vetorial. O axioma que falha é o da fechamento aditivo.