Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
\mathrm{V}=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\right. x e y reais e \left.x^{2}=y^{2}\right\} com as operações usuais de \mathrm{M}_{1,2};

Passo 1

O enunciado define
V=\bigl\{[x\;y]\mid x,y\in\mathbb{R},\;x^{2}=y^{2}\bigr\}
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em \mathrm{M}_{1,2}. Para ser espaço vetorial, V deve satisfazer, entre outros, o axioma de fechamento na adição, isto é:
\forall u,v\in V,\quad u+v\in V.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor nulo [0\;0] está em V pois 0^{2}=0^{2}. Logo o axioma da existência de elemento neutro aditivo vale.

Passo 3

Buscamos agora testar o fechamento na adição. Escolhemos dois vetores de V que estão em “ramos” distintos:
u=[1\;1]\quad(\text{pois }1^{2}=1^{2}) \quad\text{e}\quad v=[1\;-1]\quad(\text{pois }1^{2}=(-1)^{2}).
Somando-os:
u+v = [1\;1]+[1\;-1] = [2\;0].
Para [2\;0] estar em V, precisaríamos 2^{2}=0^{2}, ou seja 4=0, o que é falso. Portanto
u+v\notin V.

Passo 4

Como não vale o fechamento na adição, V não é espaço vetorial. O axioma que falha é o da fechamento aditivo.

Resposta

V não é espaço vetorial, pois falha o axioma de fechamento na adição.

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