Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
\mathrm{V}=\left\{\left[\begin{array}{lll}x & 1 & z\end{array}\right] / x\right. e z reais e \left.x^{2}=z^{2}\right\} e as operações usuais em \mathrm{M}_{1,3};

Passo 1

O enunciado define \mathrm{V}=\{[x\;1\;z]\in M_{1,3}\mid x,z\in\mathbb{R},\;x^2=z^2\}
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em M_{1,3}.
Para testar se \mathrm{V} é espaço vetorial, precisamos verificar os axiomas principais:
  1. existência do vetor zero em \mathrm{V};
  2. fechamento em relação à adição;
  3. fechamento em relação à multiplicação escalar;
  4. existência de inverso aditivo em \mathrm{V}.

Passo 2

Testando a existência do vetor zero:
o vetor zero em M_{1,3}$ é \([0\;0\;0]. Para estar em \mathrm{V} seria preciso que o segundo componente fosse 1, mas é 0.
Logo, não existe vetor nulo em \mathrm{V}. Falha no axioma “identidade aditiva”.)

Passo 3

Testando fechamento na adição:
tomemos
v_1 = [x_1\;1\;z_1]\in \mathrm{V},\quad v_2 = [x_2\;1\;z_2]\in \mathrm{V}.
Então
v_1+v_2 = [\,x_1+x_2\;,\;1+1\;,\;z_1+z_2\,] = [\,x_1+x_2\;2\;z_1+z_2\,].
O segundo componente passou a ser 2\neq1, logo v_1+v_2\not\in \mathrm{V}.
Falta o fechamento sob adição.

Passo 4

Testando fechamento na multiplicação escalar:
se \alpha\in\mathbb{R} e v=[x\;1\;z]\in \mathrm{V}, então
\alpha\,v = [\,\alpha x\;,\;\alpha\cdot1\;,\;\alpha z\,] = [\,\alpha x\;\alpha\;,\;\alpha z\,].
Para \alpha v pertencer a \mathrm{V} precisaríamos ter o segundo componente igual a 1, isto é \alpha=1.
Logo, para \alpha\neq1, \alpha v\not\in \mathrm{V}.
Falta o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

\mathrm{V} não é espaço vetorial.
Falham os axiomas de existência do vetor zero (identidade aditiva), de fechamento na adição e de fechamento na multiplicação escalar (e, em consequência, a existência dos inversos aditivos).

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