Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
e z reais e
e as operações usuais em
;
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em .
Para testar se é espaço vetorial, precisamos verificar os axiomas principais:
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em
Para testar se
- existência do vetor zero em
; - fechamento em relação à adição;
- fechamento em relação à multiplicação escalar;
- existência de inverso aditivo em
.
Passo 2
Testando a existência do vetor zero:
o vetor zero em . Para estar em seria preciso que o segundo componente fosse
, mas é
.
Logo, não existe vetor nulo em . Falha no axioma “identidade aditiva”.)
o vetor zero em . Para estar em
Logo, não existe vetor nulo em
Passo 3
Testando fechamento na adição:
tomemos
tomemos
Então
O segundo componente passou a ser
, logo
.
Falta o fechamento sob adição.
Falta o fechamento sob adição.
Passo 4
Testando fechamento na multiplicação escalar:
se e
, então
se
Para
pertencer a
precisaríamos ter o segundo componente igual a
, isto é
.
Logo, para ,
.
Falta o fechamento sob multiplicação escalar.
Logo, para
Falta o fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
Falham os axiomas de existência do vetor zero (identidade aditiva), de fechamento na adição e de fechamento na multiplicação escalar (e, em consequência, a existência dos inversos aditivos).