Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V o conjunto de todos os pares ordenados
com:
a)
e
.
b)
e
.
V o conjunto de todos os pares ordenados
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre
. Vamos lembrar que, para isso, devemos checar todos os axiomas de espaço vetorial: adição comutativa, existência de elemento neutro e inverso, associatividade, e compatibilidade da multiplicação escalar (distributividade, neutro escalar, etc.).
Passo 2
Item (a): definimos
e
-
Comutatividade da adição:
mas .
Em geral, então a adição falha em ser comutativa. -
Existência de elemento neutro
tal que para todo .
Isso exigiria
logo
e
, que depende de
. Não há um único
para todos os vetores, logo falha a existência do neutro aditivo (e consequentemente também do inverso aditivo).
Portanto, no item (a) não se satisfazem nem a comutatividade da adição nem a existência do elemento neutro.
Passo 3
Item (b): definimos
(adição usual em
) e
- Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
mas
Geralmente
, então falha
2. Propriedade do zero escalar:
mas num espaço vetorial deve valer
. Portanto esse axioma também falha.
Logo, no item (b) falham pelo menos a distributividade sobre soma de escalares e a propriedade do zero escalar.
Resposta
Em nenhum dos casos
ou
obtemos um espaço vetorial.
(a) falha em comutatividade da adição e existência de neutro aditivo.
(b) falha em distributividade e na propriedade
.
(a) falha em comutatividade da adição e existência de neutro aditivo.
(b) falha em distributividade