Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V o conjunto de todos os pares ordenados (\mathrm{a}, \mathrm{b}) com:
a) (a, b)+(c, d)=(a+d, b+c) e \propto(a, b)=(\propto \mathbf{a}, \propto \mathbf{b}).
b) (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) e \propto(a, b)=(a, b).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se V=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Vamos lembrar que, para isso, devemos checar todos os axiomas de espaço vetorial: adição comutativa, existência de elemento neutro e inverso, associatividade, e compatibilidade da multiplicação escalar (distributividade, neutro escalar, etc.).

Passo 2

Item (a): definimos
(a,b)+(c,d)=(a+d,\;b+c),
e
\alpha\,(a,b)=(\alpha a,\;\alpha b).
  1. Comutatividade da adição: (a,b)+(c,d)=(a+d,\;b+c) mas (c,d)+(a,b)=(c+b,\;d+a)=(b+c,\;a+d).
    Em geral (a+d,\;b+c)\neq(b+c,\;a+d), então a adição falha em ser comutativa.
  2. Existência de elemento neutro 0_V=(e_1,e_2) tal que (e_1,e_2)+(a,b)=(a,b) para todo (a,b).
    Isso exigiria
(e_1 + b,\;e_2 + a)=(a,b)\quad\forall a,b,
logo e_1 = a - b e e_2 = b - a, que depende de (a,b). Não há um único (e_1,e_2) para todos os vetores, logo falha a existência do neutro aditivo (e consequentemente também do inverso aditivo).
Portanto, no item (a) não se satisfazem nem a comutatividade da adição nem a existência do elemento neutro.

Passo 3

Item (b): definimos
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d)
(adição usual em \mathbb{R}^2) e
\alpha\,(a,b)=(a,b)\quad\text{para todo }\alpha\in\mathbb{R}.
  1. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
(\alpha+\beta)\,(a,b)=(a,b),
mas
\alpha\,(a,b)+\beta\,(a,b)=(a,b)+(a,b)=(2a,2b).
Geralmente (a,b)\neq(2a,2b), então falha \,(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v. 2. Propriedade do zero escalar:
0\,(a,b)=(a,b),
mas num espaço vetorial deve valer 0\,(a,b)=(0,0). Portanto esse axioma também falha.
Logo, no item (b) falham pelo menos a distributividade sobre soma de escalares e a propriedade do zero escalar.

Resposta

Em nenhum dos casos (a) ou (b) obtemos um espaço vetorial.
(a) falha em comutatividade da adição e existência de neutro aditivo.
(b) falha em distributividade (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v e na propriedade 0\cdot v=0_V.

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