Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V é o conjunto dado por
e z reais
, com as operações usuais em)\mathrm{M}_{2,1}$.
V é o conjunto dado por
Passo 1
O enunciado dá
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em
(ou seja, em
). Queremos ver se
é um espaço vetorial sobre
. Lembre que, entre outros, um espaço vetorial exige:
- Fechamento sob adição.
- Existência do vetor zero.
- Existência de inverso aditivo.
- Fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Teste de fechamento sob adição:
Seja
Seja
Então
Como a segunda coordenada saiu igual a
, temos
. Portanto falha fechamento sob adição.
Passo 3
Existência do vetor zero e inversos:
O vetor zero em é
, mas sua segunda coordenada é
, logo
.
Sem o vetor zero, não existe também o inverso aditivo de quaisquer , pois mesmo que tentássemos
, sua segunda coordenada seria
.
Logo não existem nem vetor nulo nem inversos aditivos em .
O vetor zero em
Sem o vetor zero, não existe também o inverso aditivo de quaisquer
Logo não existem nem vetor nulo nem inversos aditivos em
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar:
Para e
,
Para
A segunda coordenada fica
, que só vale
se
. Para
,
.
Logo falha fechamento sob multiplicação escalar.
Logo falha fechamento sob multiplicação escalar.