Determine se o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são, identifique os axiomas que falham:
V é o conjunto dado por \mathrm{V}=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\\ z\end{array}\right] / x\right. e z reais \}, com as operações usuais em)\mathrm{M}_{2,1}$.

Passo 1

O enunciado dá
V = \{(x,1,z) \mid x,z \in \mathbb{R}\}
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar em \mathbb{R}^3 (ou seja, em M_{3,1}). Queremos ver se (V,+,\cdot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Lembre que, entre outros, um espaço vetorial exige:
  1. Fechamento sob adição.
  2. Existência do vetor zero.
  3. Existência de inverso aditivo.
  4. Fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Teste de fechamento sob adição:
Seja
u=(x_1,1,z_1),\quad v=(x_2,1,z_2)\in V.
Então
u+v = (x_1+x_2,\;1+1,\;z_1+z_2) = (x_1+x_2,\;2,\;z_1+z_2).
Como a segunda coordenada saiu igual a 2\neq1, temos u+v\notin V. Portanto falha fechamento sob adição.

Passo 3

Existência do vetor zero e inversos:
O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0), mas sua segunda coordenada é 0\neq1, logo \mathbf{0}\notin V.
Sem o vetor zero, não existe também o inverso aditivo de quaisquer (x,1,z), pois mesmo que tentássemos (-x,-1,-z), sua segunda coordenada seria -1\neq1.
Logo não existem nem vetor nulo nem inversos aditivos em V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar:
Para \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,1,z)\in V,
\lambda u = (\lambda x,\;\lambda\cdot1,\;\lambda z) = (\lambda x,\;\lambda,\;\lambda z).
A segunda coordenada fica \lambda, que só vale 1 se \lambda=1. Para \lambda\neq1, \lambda u\notin V.
Logo falha fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

V não é espaço vetorial. Falham os axiomas de fechamento sob adição, existência do vetor zero e do inverso aditivo, e fechamento sob multiplicação escalar.

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