Fxish(i,: 2) Determine se o vetor v=(2,-5,3) é combinação linear dos vetores v_{1}=(1,-3,2), v_{2}=(2,-4,-1), v_{3}=(1,-5,7).

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma combinação linear
\alpha v_{1} + \beta v_{2} + \gamma v_{3} = v
com v=(2,-5,3), v_{1}=(1,-3,2), v_{2}=(2,-4,-1) e v_{3}=(1,-5,7).
O conteúdo é resolver um sistema linear para verificar se v pertence ao subespaço gerado por v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 2

Escrevemos o sistema em componentes usando escalares \alpha,\beta,\gamma:
\begin{cases} \alpha + 2\beta + \gamma = 2,\\\\ -3\alpha -4\beta -5\gamma = -5,\\\\ 2\alpha - \beta +7\gamma = 3. \end{cases}

Passo 3

Isolamos \alpha na primeira equação:
\alpha = 2 - 2\beta - \gamma.
Substituímos esse valor em cada uma das outras duas equações.

Passo 4

Na segunda equação:
-3(2 - 2\beta - \gamma)\;-\;4\beta\;-\;5\gamma = -5
-6 +6\beta +3\gamma -4\beta -5\gamma = -5 \quad\Longrightarrow\quad 2\beta -2\gamma = 1 \quad\Longrightarrow\quad \beta - \gamma = \tfrac12.
Na terceira equação:
2(2 - 2\beta - \gamma)\;-\;\beta\;+\;7\gamma = 3
4 -4\beta -2\gamma -\beta +7\gamma = 3 \quad\Longrightarrow\quad -5\beta +5\gamma = -1 \quad\Longrightarrow\quad \beta - \gamma = \tfrac15.

Passo 5

As duas relações
\beta - \gamma = \tfrac12 e \beta - \gamma = \tfrac15
são contraditórias. Portanto não há solução para \alpha,\beta,\gamma.

Resposta

Não. O vetor v=(2,-5,3) não é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}.

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