Encontre o m d c e o m m c dos seguintes pares de inteiros:
2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 e 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29

Passo 1

O enunciado pede o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois inteiros que já vêm dados em forma de produto de fatores primos:
A = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13
B = 13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29
Para resolver, vamos usar as definições:
  • \text{mdc}(A,B) é o produto dos primos que aparecem em ambos com o menor expoente;
  • \text{mmc}(A,B) é o produto de todos os primos que aparecem em pelo menos um dos números, elevados ao maior expoente.

Passo 2

Como ambos já estão em forma fatorada, liste os primos de cada um:
A tem \{2,3,5,7,11,13\} e B tem \{13,17,19,23,29\}.

Passo 3

Identifique os primos comuns e tome‐os com expoente mínimo (aqui todos têm expoente 1):
o único primo comum é 13.
Logo,
\text{mdc}(A,B) = 13.

Passo 4

Para o mmc, tome todos os primos que aparecem em A ou em B, cada um com expoente máximo (aqui todos são expoente 1). São eles
2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29.
Portanto,
\text{mmc}(A,B) =2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29.

Resposta

\text{mdc}=13 \text{mmc}=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29

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