Determine o conjunto A^prime dos pontos de acumulação de A:
A=(1,5]

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos pontos de acumulação de A=(1,5]. Vamos usar a definição: um ponto xinR é de acumulação de A se, para todo de<a>0, o intervalo aberto (x-de<a,x+de<a) contém algum ponto de A diferente de x.

Passo 2

Se xin(1,5), qualquer de<a>0 faz com que (x-de<a,x+de<a) contenha pontos de A distintos de x, pois A é um intervalo aberto em torno de x. Logo todo xin(1,5) é ponto de acumulação.

Passo 3

Para x=5, dado qualquer de<a>0, o intervalo (5-de<a,5+de<a) intercepta (1,5] em pontos como 5-tfracde<a2, que pertencem a A e são distintos de 5. Logo 5 também é ponto de acumulação.

Passo 4

Para x=1, mesmo não pertencendo a A, se tomarmos qualquer de<a>0, o intervalo (1-de<a,1+de<a) intercepta (1,5] em pontos da forma 1+tfracde<a2. Portanto 1 é ponto de acumulação.

Passo 5

Se x<1 ou x>5, podemos escolher de<a suficientemente pequeno de modo que (x-de<a,x+de<a)cap(1,5]=emptyset. Logo tais x não são pontos de acumulação.

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação de A é
A'=[1,5]

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