- ( 0,6 ponto por item) Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de uma função que é a soma de duas frações:
. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente as regras de integração para funções racionais simples. Vamos precisar lembrar como integrar funções da forma
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A integral de
é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Lembrando que:
Então, para o primeiro termo:
Passo 4
Para a segunda integral,
, usamos uma técnica semelhante. A integral de
também resulta em um logaritmo natural:
Passo 5
Agora, combinando as duas integrais, temos:
Passo 6
Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, substituindo primeiro o valor superior (4) e depois o inferior (1), e então subtrair:
Para
:
Para
:
Sabendo que
, simplificamos:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
e que
. Então:
Resposta
A integral vale
.