1. ( 0,6 ponto por item) Calcule as seguintes integrais:
    integral1^4(2x+1x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de uma função que é a soma de duas frações: integral1^4(2x+1x+2) dx. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente as regras de integração para funções racionais simples. Vamos precisar lembrar como integrar funções da forma 1x e 1x+a.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^4(2x+1x+2) dx = integral1^4 2x dx + integral1^4 1x+2 dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A integral de 1x é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Lembrando que:
integral 1x dx = ln|x| + C
Então, para o primeiro termo:
integral 2x dx = 2 ln|x|

Passo 4

Para a segunda integral, 1x+2, usamos uma técnica semelhante. A integral de 1x+a também resulta em um logaritmo natural:
integral 1x+2 dx = ln|x+2| + C

Passo 5

Agora, combinando as duas integrais, temos:
integral1^4(2x+1x+2) dx = [2 ln|x| + ln|x+2|]1^4

Passo 6

Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, substituindo primeiro o valor superior (4) e depois o inferior (1), e então subtrair:
Para x = 4:
2 ln(4) + ln(4+2) = 2 ln(4) + ln(6)
Para x = 1:
2 ln(1) + ln(1+2) = 2 ln(1) + ln(3)
Sabendo que ln(1) = 0, simplificamos:
2 ln(4) + ln(6) - (0 + ln(3)) = 2 ln(4) + ln(6) - ln(3)

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que 2 ln(4) = ln(4^2) = ln(16) e que ln(16) + ln(6) = ln(16 times 6) = ln(96). Então:
ln(96) - ln(3) = ln(963) = ln(32)

Resposta

A integral vale ln(32).

Exercícios relacionados