Determine o conjunto A^prime dos pontos de acumulação de A:
A=(-infty, 2) cup(2,3)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A = (-infty,2)cup(2,3)
e pede o conjunto A' dos pontos de acumulação de A.
Lembrando que x é ponto de acumulação de A se, para todo varepsilon>0,
l((x-varepsilon,x+varepsilon)setminusxr)cap Aneqvarnothing

Passo 2

Se x<2, então xin(-infty,2). Qualquer intervalo aberto em torno de x contém outros pontos de (-infty,2)subset A. Logo todo x<2 é ponto de acumulação.

Passo 3

Se 2<x<3, então xin(2,3). De modo análogo, qualquer vizinhança de x reúne outros pontos de (2,3)subset A. Logo todo xin(2,3) é ponto de acumulação.

Passo 4

No ponto x=2, dado varepsilon>0, o intervalo (2-varepsilon,2+varepsilon) contém points de (-infty,2)subset A (por exemplo algum 2-de<a com 0<de<a<varepsilon). Assim 2in A'.

Passo 5

No ponto x=3, dado varepsilon>0, o intervalo (3-varepsilon,3+varepsilon) contém points de (2,3)subset A (por exemplo algum 3-de<a com 0<de<a<varepsilon). Assim 3in A'.

Passo 6

Se x>3, basta escolher varepsilon< x-3 para que (x-varepsilon,x+varepsilon)cap A=varnothing. Portanto nenhum ponto maior que 3 está em A'.

Resposta

A' = (-infty,3]

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