Determine o conjunto A^prime dos pontos de acumulação de A:
A=(-infty, 0) cup1

Passo 1

O enunciado define
A = (-infty,0);cup;1
e pede o conjunto A' de pontos de acumulação de A. O conteúdo aqui é topologia básica em R: um ponto x é de acumulação de A se toda vizinhança de x contém outro ponto de A distinto de x.
Formalmente, x é ponto de acumulação de A se e somente se para todo varepsilon>0
l(Acap (x-varepsilon,x+varepsilon)r)setminusxneqemptyset

Passo 2

Se x<0, então existe um intervalo aberto centrado em x contido em (-infty,0)subset A. Como (-infty,0) é aberto, essa vizinhança sempre contém pontos de A diferentes de x. Logo, todo x<0 é ponto de acumulação.

Passo 3

Se x=0, então para todo varepsilon>0 o intervalo (0-varepsilon,0+varepsilon) intersecta (-infty,0) em pontos <0. Esses pontos estão em A e são diferentes de 0. Portanto, 0 também é ponto de acumulação.

Passo 4

Se x>0, distinguimos
  • Para 0<x<1 ou x>1: escolhendo varepsilon suficientemente pequeno, o intervalo (x-varepsilon,x+varepsilon) não alcança nem (-infty,0) nem o ponto 1 (quando xneq1), logo não há outros pontos de A.
  • Para x=1: basta escolher varepsilon<1 para que (1-varepsilon,1+varepsilon) não atinja (-infty,0), e dentro dessa vizinhança o único ponto de A é 1 próprio. Então não há outro ponto de A distinto de 1.
    Em todos esses casos, não são pontos de acumulação.

Passo 5

Reunindo as conclusões: os pontos de acumulação são exatamente aqueles em (-infty,0) mais o ponto 0. Portanto
A' = (-infty,0]

Resposta

A' = (-infty,0]

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