Determine o conjunto
dos pontos de acumulação de
:
Passo 1
O enunciado define
e pede o conjunto
de pontos de acumulação de
. O conteúdo aqui é topologia básica em
: um ponto
é de acumulação de
se toda vizinhança de
contém outro ponto de
distinto de
.
Formalmente, é ponto de acumulação de
se e somente se para todo
Formalmente,
Passo 2
Se
, então existe um intervalo aberto centrado em
contido em
. Como
é aberto, essa vizinhança sempre contém pontos de
diferentes de
. Logo, todo
é ponto de acumulação.
Passo 3
Se
, então para todo
o intervalo
intersecta
em pontos
. Esses pontos estão em
e são diferentes de
. Portanto,
também é ponto de acumulação.
Passo 4
Se
, distinguimos
- Para
ou : escolhendo suficientemente pequeno, o intervalo não alcança nem nem o ponto (quando ), logo não há outros pontos de . - Para
: basta escolher para que não atinja , e dentro dessa vizinhança o único ponto de é próprio. Então não há outro ponto de distinto de .
Em todos esses casos, não são pontos de acumulação.
Passo 5
Reunindo as conclusões: os pontos de acumulação são exatamente aqueles em
mais o ponto
. Portanto