Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado:
Passo 1
O enunciado pede para achar o conjunto de pontos de acumulação de
Conteúdo: topologia em
, definição de ponto de acumulação. Lembremos que
é ponto de acumulação de
se, para todo
, a bola aberta
contém algum ponto de
diferente de
.
Passo 2
Mostramos que todo ponto interno da reta
com
é ponto de acumulação. Seja
com
e tome
. Basta escolher
ou
desde que permaneça em
. Então
,
e
logo
(1,y0) é ponto de acumulação.
Passo 3
Verificamos agora as extremidades
(1,1) e
(1,2) . Seja
varepsilon>0 . Note que para qualquer
0<de<a<varepsilon temos
Assim as bolas centradas em
(1,1) ou em
(1,2) interceptam sempre
S . Portanto
(1,1) e
(1,2) também são pontos de acumulação.
Passo 4
Mostramos que não há mais nenhum ponto de acumulação. Seja
(a,b)notin1times[1,2] . Se
aneq1 então escolhemos
e a bola centrada em
(a,b) não toca a reta
x=1 . Se
a=1 mas
b<1 ou
b>2 , escolhemos
e a bola não atinge o segmento aberto
1<y<2 . Logo tais pontos não acumulam em
S .
Resposta
O conjunto de pontos de acumulação de
S é