Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado:
(x, y) in R^2: x=1,1<y<2

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto de pontos de acumulação de
S = (x,y)inR^2 : x=1,;1<y<2
Conteúdo: topologia em R^2, definição de ponto de acumulação. Lembremos que ,(a,b) é ponto de acumulação de S se, para todo varepsilon>0, a bola aberta
Bvarepsilonl((a,b)r)
contém algum ponto de S diferente de (a,b).

Passo 2

Mostramos que todo ponto interno da reta x=1 com 1<y<2 é ponto de acumulação. Seja (1,y0) com 1<y0<2 e tome varepsilon>0. Basta escolher
y = y0 + varepsilon2,
ou
y = y0 - varepsilon2,
desde que permaneça em (1,2). Então (1,y)in S, (1,y)neq(1,y0) e
l|(1,y)-(1,y0)r| = |y-y0| = varepsilon2 < varepsilon,
logo (1,y0) é ponto de acumulação.

Passo 3

Verificamos agora as extremidades (1,1) e (1,2). Seja varepsilon>0. Note que para qualquer 0<de<a<varepsilon temos
(1,1+de<a)in S e (1,2-de<a)in S
Assim as bolas centradas em (1,1) ou em (1,2) interceptam sempre S. Portanto (1,1) e (1,2) também são pontos de acumulação.

Passo 4

Mostramos que não há mais nenhum ponto de acumulação. Seja (a,b)notin1times[1,2]. Se aneq1 então escolhemos
varepsilon < |a-1|,
e a bola centrada em (a,b) não toca a reta x=1. Se a=1 mas b<1 ou b>2, escolhemos
varepsilon < min,|b-1|,,|b-2|,,
e a bola não atinge o segmento aberto 1<y<2. Logo tais pontos não acumulam em S.

Resposta

O conjunto de pontos de acumulação de S é
(1,y)inR^2:1<= y<=2

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