Determine o conjunto de pontos que atendem aos seguintes sistemas de equações:
l5 x-y+2 z+4=0 x-2 y+4 z-1=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em
Como há menos equações que variáveis, esperamos uma família infinita de soluções – de fato uma reta em (\mathbb R^3]. Vamos usar a técnica de variável livre (parâmetro).

Passo 2

Escolhemos z como variável livre e definimos
z = t, tin R
Em seguida, usamos a primeira equação para expressar y em função de x e t:
5x - y + 2t + 4 = 0 Longrightarrow y = 5x + 2t + 4

Passo 3

Substituímos agora y = 5x + 2t + 4 e z = t na segunda equação:
x - 2(5x + 2t + 4) + 4t - 1 = 0
Distribuindo e simplificando:
x - 10x - 4t - 8 + 4t - 1 = 0 Longrightarrow -9x - 9 = 0 Longrightarrow x = -1
Com x=-1 e z=t, voltamos a y = 5x + 2t + 4 e obtemos
y = 5(-1) + 2t + 4 = 2t - 1

Passo 4

Reescrevendo a solução em forma paramétrica, para cada tin R temos
(x,y,z) = (-1,;2t-1,;t)

Resposta

l(x,y,z)in R^3 mid (x,y,z)=(-1,,2t-1,,t),;tin Rr

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