Determine um vetor normal ao plano pi em cada caso:
pi:lx=t1+t2 y=2 t1+t2 z=3 t1+5 t2

Passo 1

O enunciado dá o plano
Queremos um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos usar que dois vetores diretores do plano podem ser obtidos derivando a posição em relação a , e então calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores vec v1 e vec v2 do plano como as derivadas parciais de (x,y,z) em relação a t1 e t2:
vec v1 = partialpartial t1(x,y,z) = (1,2,3), vec v2 = partialpartial t2(x,y,z) = (1,1,5)

Passo 3

O vetor normal vec n é dado pelo produto vetorial vec v1times vec v2. Em forma de determinante:
vec n = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & 1 & 5

Passo 4

Calculando cada componente:
vec n = i,(2cdot5 - 3cdot1) - j,(1cdot5 - 3cdot1) + k,(1cdot1 - 2cdot1) = 7, i - 2, j - 1, k
Logo, um vetor normal ao plano é
vec n = (7,,-2,,-1)

Resposta

Um vetor normal ao plano pi é ,(7,-2,-1), ou qualquer múltiplo escalar dele.

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