Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo equilátero de lado
. Ache o momento de inércia em relação
(a) a um lado
(b) a uma altura
(a) a um lado
(b) a uma altura
Passo 1
Temos uma lâmina triangular equilátera e homogênea de lado
e massa total
. Queremos calcular o momento de inércia planar (eixo perpendicular à lâmina)
(a) em torno de um lado do triângulo,
(b) em torno da altura correspondente.
Vamos usar densidade superficial com
, coordenadas cartesianas e a definição
(a) em torno de um lado do triângulo,
(b) em torno da altura correspondente.
Vamos usar densidade superficial
Passo 2
Para o eixo coincidente com um lado, tomamos esse lado como eixo
em
.
A densidade superficial é
A densidade superficial é
e a altura do triângulo é
A uma distância
da base a largura vale
; a distância ao eixo é
. Logo
Calculando a integral:
Passo 3
Para o eixo ao longo da altura, colocamos-o como eixo
em
. A largura transversal a uma altura
vai de
a
, com
O momento de inércia é
Fazendo a integração em
:
Resposta
(a)
(b)
(b)