Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo equilátero de lado a. Ache o momento de inércia em relação
(a) a um lado
(b) a uma altura

Passo 1

Temos uma lâmina triangular equilátera e homogênea de lado a e massa total m. Queremos calcular o momento de inércia planar (eixo perpendicular à lâmina)
(a) em torno de um lado do triângulo,
(b) em torno da altura correspondente.
Vamos usar densidade superficial sigma = mA com A = raiz34a^2, coordenadas cartesianas e a definição
I = integral dupla r^2,dm = sigma integral dupla r^2,dA

Passo 2

Para o eixo coincidente com um lado, tomamos esse lado como eixo x em y=0.
A densidade superficial é
sigma = 4mraiz3,a^2,
e a altura do triângulo é
h = raiz32a
A uma distância y da base a largura vale a - ahy; a distância ao eixo é y. Logo
Ilado = sigma integral0^h y^2 l(a - ahyr),dy
Calculando a integral:
Ilado = sigma a integral0^h l(y^2 - y^3hr),dy = sigma a l[h^33 - h^34r] = sigma a,h^312 = m,a^28

Passo 3

Para o eixo ao longo da altura, colocamos-o como eixo y em x=0. A largura transversal a uma altura y vai de -c a +c, com
c = a2l(1 - yhr)
O momento de inércia é
Ia<ura = sigma integral0^h integral-c^c x^2,dx,dy = sigma integral0^h 2c^33,dy = 2sigma3 integral0^h l(a2(1 - yh)r)^3 dy
Fazendo a integração em y:
Ia<ura = sigma a^312integral0^hl(1 - yhr)^3 dy = sigma a^312cdoth4 = m,a^224

Resposta

(a) I = m,a^28
(b) I = m,a^224

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