Determine o conjunto dos pontos em que f(x, y) é contínua.
f(x, y)=rrx^3+x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^3+x^2yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] 1,& (x,y)=(0,0)
e pede o conjunto de continuidade. O conteúdo aqui é análise de continuidade de função de duas variáveis: verificamos primeiro os pontos onde a expressão é quociente de polinômios e depois o ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^2+y^2neq0 e f(x,y) é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por ser combinação de operações contínuas, f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0), precisamos calcular
L=lim(x,y)to(0,0)x^3+x^2yx^2+y^2
Usando estimativas, temos
|x^3x^2+y^2|<=|x|, |x^2yx^2+y^2|<=|y|
Então
|x^3+x^2yx^2+y^2|<=|x|+|y|;xrightarrow[x,yto0];0
Portanto L=0.

Passo 4

Como f(0,0)=1neq L=0, a função é descontínua em (0,0).

Resposta

O conjunto de continuidade de f é
R^2setminus(0,0)

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