Use a desigualdade triangular para mostrar que
(a) |z1+z2+z3| <=|z1|+|z2|+|z3|, forall z1, z2, z3 in C;

Passo 1

Nesse exercício, queremos mostrar que |z1+z2+z3| <= |z1|+|z2|+|z3|. O conteúdo é a desigualdade triangular em C e vamos usar a forma básica dessa desigualdade e aplicá-la em duas etapas.

Passo 2

A desigualdade triangular básica em C diz que para quaisquer a,b, vale |a+b| <= |a| + |b|. Isso decorre do fato de que o valor absoluto mede distâncias no plano complexo.

Passo 3

Agora, comece agrupando:
|z1+z2+z3| = |(z1+z2)+z3| Aplicando a desigualdade triangular na soma de (z1+z2) com z3 a gente obtém |(z1+z2)+z3| <= |z1+z2| + |z3|

Passo 4

Por fim, aplicamos a desigualdade triangular em z1+z2: |z1+z2| <= |z1| + |z2|. Com isso, chega-se a |z1+z2+z3| <= (|z1|+|z2|) + |z3| = |z1| + |z2| + |z3|.

Resposta

|z1+z2+z3| <= |z1| + |z2| + |z3|

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