Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função f(x, y). Justifique sua resposta.
* f(x, y)=ln (x-yraizx^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos a função f(x, y) = ln (x - yraizx^2 + y^2) e precisamos descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções multivariáveis e também entender como funciona o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logaritmo natural, ln(z) , está definida somente quando z > 0 . Então, para que f(x, y) seja definida, o que está dentro do logaritmo deve ser maior que zero:
x - yraizx^2 + y^2 > 0

Passo 3

Agora, vamos analisar essa fração. O denominador, raizx^2 + y^2 , é sempre positivo, exceto quando x = 0 e y = 0 . Então, a condição para a fração ser positiva depende somente do numerador:
x - y > 0
ou seja,
x > y

Passo 4

Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, o que acontece apenas quando x = 0 e y = 0 . Portanto, a função não está definida nesse ponto específico, já que não podemos ter divisão por zero.

Passo 5

Resumindo:
  • A função f(x, y) está definida quando x > y .
  • A função não está definida no ponto (0, 0) porque o denominador seria zero.

Resposta

A função f(x, y) = ln (x - yraizx^2 + y^2) é contínua em todos os pontos do plano onde x > y e (x, y) neq (0, 0) .

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