Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções multivariáveis e também entender como funciona o logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função logaritmo natural,
, está definida somente quando
. Então, para que
seja definida, o que está dentro do logaritmo deve ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos analisar essa fração. O denominador,
, é sempre positivo, exceto quando
e
. Então, a condição para a fração ser positiva depende somente do numerador:
ou seja,
Passo 4
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, o que acontece apenas quando
e
. Portanto, a função não está definida nesse ponto específico, já que não podemos ter divisão por zero.
Passo 5
Resumindo:
- A função
está definida quando . - A função não está definida no ponto
porque o denominador seria zero.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano onde
e
.