Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto dado:
b) f(x)=x e^{x}-1 e P(0,-1)$;

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
f(x)=x e^x-1
no ponto P(0,-1).
Conteúdo: derivada de função dada por produto e equação de reta (forma ponto-declive).

Passo 2

Calcular f'(x) usando a regra do produto em x e^x:
f'(x) = ddxl(xr),e^x + x,ddxl(e^xr) = 1cdot e^x + xcdot e^x = e^x(1 + x)

Passo 3

Determinar o declive (slope) da tangente em x=0:
mtang = f'(0) = e^0(1 + 0) = 1

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente em forma ponto-declive y - y0 = m,(x - x0) com (x0,y0)=(0,-1) e m=1:
y - (-1) = 1,(x - 0)
y + 1 = x
boxedy = x - 1

Passo 5

O declive da reta normal é o negativo do recíproco do declive da tangente:
mnorm = -1mtang = -1
Usando novamente a forma ponto-declive com m=-1 e (0,-1):
y - (-1) = -1,(x - 0)
y + 1 = -x
boxedy = -x - 1

Resposta

Reta tangente: y = x - 1
Reta normal: y = -x - 1

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