Determine as derivadas que se pede em cada item;
e) y=x e^7 x, y^prime prime e y^prime prime prime;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de segunda e terceira ordem de y = x e^7x. Para isso vamos usar a regra do produto, que diz que se y = u(x),v(x) então
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x),
e a regra da cadeia para a derivada de e^7x, que é l(e^7xr)' = 7e^7x.

Passo 2

Começamos calculando a derivada primeira. Tomando u(x)=x e v(x)=e^7x, temos u'(x)=1 e v'(x)=7e^7x. Logo,
y' = 1cdot e^7x + xcdot 7e^7x = l(1 + 7xr)e^7x

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada. Seja w(x)=1+7x, de modo que y' = w(x),e^7x. Então w'(x)=7 e, de novo pela regra do produto,
y'' = w'(x),e^7x + w(x),l(e^7xr)' = 7e^7x + l(1+7xr)cdot 7e^7x = l(7 + 7 + 49xr)e^7x = l(14 + 49xr)e^7x

Passo 4

Por fim, fazemos a terceira derivada. Definimos agora p(x)=14+49x, de modo que y'' = p(x)e^7x. Temos p'(x)=49, então
y''' = p'(x),e^7x + p(x),l(e^7xr)' = 49e^7x + l(14+49xr)cdot 7e^7x = l(49 + 98 + 343xr)e^7x = l(147 + 343xr)e^7x

Resposta

y'' = l(14 + 49xr)e^7x, y''' = l(147 + 343xr)e^7x

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